حلا لمسألة تكامل الكسور الرياضية

الكسر المعني هو مكافئ للكسر 2/5. إذا تم زيادة البسط في هذا الكسر بمقدار 4 وضاعف المقام بمقدار 2، أصبح الكسر الجديد مكافئًا للكسر 1/4. ما هو مجموع البسط والمقام في الكسر الأصلي؟

المسألة تتعلق بالعلاقة بين الكسور وتأثير تغيير البسط والمقام عليها. لنقم بتحليل الوضع:

الكسر الأصلي: $\frac{a}{b}$ (حيث $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$)

الكسر بعد التغييرات: $\frac{a+4}{2b} = \frac{1}{4}$

لحل هذه المعادلة، نقوم بإجراء الخطوات التالية:

1. ضع العلاقة الأولى: $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$
2. زد البسط بمقدار 4: $\frac{a+4}{b}$
3. ضاعف المقام بمقدار 2: $\frac{a+4}{2b}$
4. قارن الكسر الناتج مع الكسر الجديد $\frac{1}{4}$

المعادلة النهائية: $\frac{a+4}{2b} = \frac{1}{4}$

الآن، لنقم بحل المعادلة:

$4(a+4) = 2b$

نقوم بفتح الأقواس:

$4a + 16 = 2b$

نقوم بترتيب الأعضاء:

$4a = 2b – 16$

نقسم على 2 لتبسيط المعادلة:

$2a = b – 8$

الآن، نعود إلى العلاقة الأصلية $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$ ونستبدل قيمة $b$ بـ $2a + 8$:

$\frac{a}{2a + 8} = \frac{2}{5}$

نقوم بضرب الطرفين في 5 لتخلصنا من المقام في الكسر:

$5a = 2(2a + 8)$

نقوم بفتح الأقواس وترتيب الأعضاء:

$5a = 4a + 16$

ننقل الأعضاء الخاصة بـ $a$ إلى جهة واحدة:

$a = 16$

الآن، لنجد قيمة $b$، نستخدم العلاقة $2a = b – 8$ ونستبدل فيها قيمة $a$ التي حصلنا عليها:

$2(16) = b – 8$

$32 = b – 8$

نضيف 8 للجهة الأخرى:

$b = 40$

إذاً، الكسر الأصلي هو $\frac{16}{40}$. والمطلوب هو جمع البسط والمقام: $16 + 40 = 56$.

لقد استخدمنا هنا قوانين الجمع والطرح وضرب الكسور، بالإضافة إلى استخدام قوانين الجبر والتبسيط.