حلا لمسألة الوسيط والمتوسط الحسابي (مسألة رياضيات)

ثلاثة أعداد صحيحة إيجابية لديها متوسط ​​حسابي يبلغ 26 ووسيط يبلغ 27. إذا كان الوسيط أقل بمقدار 5 من أكبر عدد، ما هو أصغر عدد؟

لنقم بتعيين الأعداد الثلاثة بترتيب من الأصغر إلى الأكبر بشكل تتابعي: $a, b, c$. يتوسط العدد الأوسط بينهما، ويعتبر أوسطاً، لذا نحن نعلم أن $b = 27$.

المتوسط الحسابي للأعداد الثلاثة يُعطى بالصيغة التالية:

ونعلم أن متوسط الأعداد يساوي 26، لذلك:

نضرب الطرفين في 3 لتخلصنا من المقام:

نعلم أيضاً أن الوسيط يقع بين العددين $a$ و $c$، وبما أن $b = 27$ والوسيط يقع في المنتصف، فإنه يجب أن يكون $a < 27$ و $c > 27$. بالإضافة إلى ذلك، نُعلم أن الوسيط $b$ يكون أقل بمقدار 5 من العدد الأكبر $c$. لذا:

ونستخدم هذه القيمة في المعادلة الأولى:

نقوم بحساب قيمة $a$:

لذا، الأعداد الثلاثة هي: 19، 27، 32. وبالتالي، العدد الأصغر هو 19.

لحل هذه المسألة، استخدمنا عدة قوانين ومفاهيم رياضية. دعونا نستعرض الخطوات بتفصيل أكبر:

1. تحديد الأعداد:
   قمنا بتعيين الأعداد الثلاثة بترتيب تتابعي $a, b, c$. حيث كان $b$ هو الوسيط (الذي هو أيضًا الوسيط).

2. التعبير عن المتوسط الحسابي:
   استخدمنا مفهوم المتوسط الحسابي الذي يُعبر عنه بواسطة الصيغة:

   $$\text{متوسط } = \frac{a + b + c}{3}$$

   وقد كان المتوسط الحسابي يعادل 26.

3. تكوين المعادلة:
   أعطينا المعلومة أن المتوسط الحسابي يساوي 26، لذا قمنا بكتابة المعادلة التي تعبر عن هذا الوضع:

   $$26 = \frac{a + 27 + c}{3}$$

4. حساب المعادلة:
   قمنا بحساب القيمة النهائية للمعادلة للعثور على قيمة $a$.

5. تحديد قيمة الوسيط والعدد الأكبر:
   استخدمنا معلومات إضافية حول موقع الوسيط وعلاقته مع العدد الأكبر. حيث كان الوسيط يُعلن عنه في المسألة، وكان العدد الأكبر يبعد عنه بفارق 5، لذا تم تحديد قيمة الوسيط $b$ والعدد الأكبر $c$.

6. حساب العدد الأصغر:
   بعد الحصول على قيم $a$ و $c$، قمنا بحساب القيمة النهائية للعدد الأصغر $a$.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

• متوسط الأعداد: يُعبر عنه بجمع الأعداد وقسمتها على عددها.
• وسيط الأعداد: هو العدد الوسطي عند ترتيب الأعداد بترتيب تتابعي.
• المعادلات الحسابية: استخدمت لتمثيل العلاقات بين الأعداد في المشكلة.
• الترتيب الصاعدي والهبوطي: تم استخدامه لتحديد مكان الوسيط بين الأعداد.

بهذه الطريقة، تم حل المسألة باستخدام مفاهيم الرياضيات الأساسية والقوانين المعروفة.