حلا لمسألة النسب الرياضية

الوعاء يحتوي على مزيج من مادتي A و B بنسبة 4:1. عندما يتم استبدال 40 لترًا من المزيج بالسائل B ، يصبح النسبة 2:3. ما هو حجم السائل A الذي كان موجودًا في المزيج في البداية؟

لنحل هذه المسألة، نفترض أن حجم السائل A في البداية هو 4x وحجم السائل B هو x. بمجرد استبدال 40 لترًا من المزيج بالسائل B، يصبح لدينا:

حجم A بعد الاستبدال = 4x – 40
حجم B بعد الاستبدال = x + 40

وفي هذا الوقت، نعلم أن النسبة بين حجم A وحجم B هي 2:3، لذا:

$\frac{(4x – 40)}{(x + 40)} = \frac{2}{3}$

لحل هذه المعادلة، نقوم بضرب كل طرف في 3 للتخلص من المقام في الجهة اليمنى:

$3(4x – 40) = 2(x + 40)$

نفتح الأقواس:

$12x – 120 = 2x + 80$

ثم نجمع الأشكال المتشابهة:

$10x = 200$

ونقسم على 10 للحصول على قيمة x:

$x = 20$

الآن نعود لحساب حجم السائل A في البداية (4x):

$حجم A = 4 \times 20 = 80$

إذاً، كان هناك 80 لترًا من السائل A في المزيج في البداية.

لنقم بتفصيل حلا المسألة بشكل أكبر وذلك باستخدام القوانين والمفاهيم الرياضية المعتمدة في الحل:

المعلومات المعطاة:

1. نسبة المادتين A و B في البداية هي 4:1.
2. عند استبدال 40 لترًا من المزيج بالمادة B، تصبح النسبة 2:3.

لنمثل حجم المادة A بـ $4x$ (حيث $x$ هو مضاعف مجهول) وحجم المادة B بـ $x$ في البداية.

بعد استبدال 40 لترًا، يصبح حجم المادة A: $4x – 40$ وحجم المادة B: $x + 40$.

وفقًا للنسبة الجديدة (2:3)، نكتب المعادلة التالية:
$\frac{(4x – 40)}{(x + 40)} = \frac{2}{3}$

نقوم بضرب كل طرف في 3 للتخلص من المقام:
$3(4x – 40) = 2(x + 40)$

نقوم بفتح الأقواس وحساب القيم:
$12x – 120 = 2x + 80$

نجمع الأشكال المتشابهة:
$10x = 200$

ثم نقسم على 10 للحصول على قيمة $x$:
$x = 20$

الخطوة الأخيرة هي حساب حجم المادة A في البداية:
$حجم A = 4 \times 20 = 80$

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون النسبة:
   يعتمد الحل على فهم نسبة الكميات المختلطة في البداية وكيف يمكن تمثيلها رياضيًا.

2. قوانين الجمع والطرح:
   تُستخدم هذه القوانين لتحديد حجم المواد بعد استبدال 40 لترًا.

3. تحويل النسبة إلى معادلة:
   يتم تحويل المعلومات المعطاة إلى معادلة رياضية لحل المسألة.

4. حل المعادلات:
   يُستخدم حل المعادلات للعثور على قيمة المجهول $x$.

5. ضرب وقسم الأعداد:
   يُستخدم لتبسيط المعادلة والحصول على القيمة النهائية للمجهول $x$.

تمثل هذه القوانين والمفاهيم الأساسية الأدوات الرئيسية في حل مشكلة النسب والكميات المختلطة في هذا السياق.