حلا لمسألة النسب الرياضية: العثور على الأعداد

نسبة العددَيْن هي 2/3، وإذا تم طرح واحد من البسط وجمع واحد إلى المقام، يصبح النسبة 1/2. فما هما العددان؟

لنحل هذه المسألة، دعونا نمثل العددَيْن بـ a و b (حيث a و b هما العددان اللذان نبحث عن قيمهما). النسبة بينهما هي 2/3، لذا يكون المعادلة كالتالي:

$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$

المطلوب الآن هو إيجاد قيم لـ a و b تحقق النسبة المعطاة. لنقم بتعديل النسبة عند إجراء العمليات المحددة:

1. طرح واحد من البسط (العدد الأول):
   $\frac{a-1}{b}$

2. جمع واحد إلى المقام (العدد الثاني):
   $\frac{a-1}{b+1}$

وبما أن النسبة النهائية هي 1/2، يكون لدينا المعادلة:

$\frac{a-1}{b+1} = \frac{1}{2}$

الآن لنقم بحل هذه المعادلة للعثور على قيم a و b. قد نقوم بذلك عن طريق ضرب الطرفين في المعادلة بمضاعف مشترك للتخلص من المقام في المعادلتين. بعد الحسابات، نحصل على:

$a = 3$
$b = 2$

إذاً، العددين هما 3 و 2 على التوالي.

لنقوم بحل هذه المسألة بمزيد من التفصيل، سنبدأ بتعريف العددين المطلوبين بـ $a$ و $b$، حيث نسبة $a$ إلى $b$ تكون $\frac{2}{3}$.

نكتب المعادلة الأولى:
$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$

ثم نقوم بتحويل النسبة الثانية بإجراء العمليات المطلوبة (طرح 1 من البسط وجمع 1 إلى المقام)، للحصول على النسبة الجديدة $\frac{a-1}{b+1}$ والتي تكون مساوية لـ $\frac{1}{2}$.

المعادلة الثانية تكون كالتالي:
$\frac{a-1}{b+1} = \frac{1}{2}$

الآن نقوم بحل المعادلتين. لحل المعادلة الأولى، يمكننا ضرب كل طرف في $b$ للتخلص من المقام:
$a = \frac{2b}{3}$

ثم نستخدم هذه القيمة في المعادلة الثانية:
$\frac{\frac{2b}{3} – 1}{b+1} = \frac{1}{2}$

الآن نقوم بحل المعادلة الثانية. نقوم بضرب كل طرف في $2(b+1)$ للتخلص من المقام:
$2(\frac{2b}{3} – 1) = b+1$

بعد الحسابات، نحصل على:
$b = 2$

ثم نستخدم قيمة $b$ في المعادلة الأولى للعثور على $a$:
$a = \frac{2b}{3} = \frac{4}{3}$

إذاً، العددان هما $a = \frac{4}{3}$ و $b = 2$، ونسبتهما هي $\frac{2}{3}$.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون النسبة: $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$
2. إجراء عمليات على النسب للوصول إلى نسبة جديدة.
3. حل المعادلات: تطبيق العمليات الرياضية للعثور على قيم مجهولة $a$ و $b$.
4. ضرب المعادلات بمضاعف مشترك للتخلص من المقام.
5. تطبيق القوانين الأساسية للجبر في حسابات الجمع والطرح.