إذا كانت المتوسطة الحسابية لعدد فردي من الأعداد الفردية المتتالية تساوي $y$، فما هو مجموع أصغر وأكبر عددين في هذه السلسلة بالنسبة إلى $y$؟
حسنًا، لنقم بفحص السياق أولاً. نعلم أن المتوسط الحسابي يعبر عن متوسط مجموع مجموعة من الأعداد، ويمكن حساب المتوسط الحسابي باستخدام العلاقة:
y=nx1+x2+…+xn
حيث $x_1, x_2, \ldots, x_n$ هي الأعداد الفردية المتتالية، و $n$ هو عددها.
الآن، دعونا نقوم بتحليل الوضع. نحن نعلم أن عدد الأعداد هو فردي، لذا $n$ هو عدد فردي. ولكي يكون المتوسط الحسابي $y$، يجب أن يكون مجموع الأعداد مضاعفًا لعدد الأعداد، أي:
x1+x2+…+xn=y×n
لدينا الآن المعادلة، ونحتاج إلى تعبير عن مجموع أصغر وأكبر عددين. للقيام بذلك، دعونا نفكك السلسلة. إذا كانت السلسلة تتكون من أعداد فردية متتالية، فإن الوسطين يكونان هما القيمة الوسطية في السلسلة. لنفترض أن الوسطين هما $x_m$ و $x_{m+1}$.
بالنظر إلى السياق، نستطيع أن نلاحظ أن $x_m$ يكون القيمة الوسطية للسلسلة، و $x_{m+1}$ يكون العدد التالي في السلسلة، وهو العدد الذي يليه مباشرة. إذاً، الأصغر والأكبر عددين هما $x_1$ و $x_n$.
الآن، دعونا نقوم بتعبير المتوسط الحسابي بطريقة مختلفة باستخدام الوسطين:
y=2xm+xm+1
نحن نعلم أن الوسطين هما $x_m$ و $x_{m+1}$، لذا يمكننا حساب مجموعهما كالتالي:
2y=xm+xm+1
ومن ثم، نحصل على قيمة $x_1 + x_n$ بجمع العنصرين الأقصر والأطول في السلسلة:
x1+xn=xm+xm+1=2y
إذاً، نكون قد حسمنا المسألة ووجدنا أن مجموع الأصغر والأكبر عددين في هذه السلسلة هو $2y$.
المزيد من المعلومات
بالتأكيد، دعونا نستكمل حلا لهذه المسألة بالتفصيل، وسنقوم أيضا بذكر القوانين والمفاهيم الرياضية المستخدمة في الحل.
المسألة تتعلق بالعدد الفردي من الأعداد الفردية المتتالية، والهدف هو إيجاد مجموع أصغر وأكبر عددين في هذه السلسلة بالنسبة إلى المتوسط الحسابي $y$.
لنستعرض الخطوات بتفصيل:
-
تعبير المتوسط الحسابي:
نستخدم مفهوم المتوسط الحسابي الذي يعبر عن القيمة المتوسطة لمجموعة من الأعداد. يمكن حساب المتوسط الحسابي باستخدام العلاقة التالية:
y=nx1+x2+…+xn
حيث $x_1, x_2, \ldots, x_n$ هي الأعداد الفردية المتتالية، و $n$ هو عددها. -
تحليل الوضع:
نلاحظ أن عدد الأعداد هو فردي، لذا $n$ هو عدد فردي. يجب أن يكون مجموع الأعداد مضاعفًا لعدد الأعداد ليكون المتوسط الحسابي $y$.
x1+x2+…+xn=y×n -
تحليل السلسلة:
نفصل السلسلة إلى أعدادها الفردية المتتالية. نفترض أن الوسطين هما $x_m$ و $x_{m+1}$. -
تعبير المتوسط باستخدام الوسطين:
نعبر عن المتوسط الحسابي باستخدام الوسطين:
y=2xm+xm+1 -
المعادلة الإضافية باستخدام الوسطين:
نستخدم المعادلة الإضافية لحساب مجموع الوسطين:
2y=xm+xm+1 -
تعبير مجموع الأصغر والأكبر عددين:
نستنتج من التحليل أن $x_1 + x_n = x_m + x_{m+1} = 2y$.
القوانين والمفاهيم المستخدمة:
-
متوسط الأعداد:
استخدمنا مفهوم المتوسط الحسابي لتعبير عن متوسط مجموعة من الأعداد. -
العلاقة بين مجموع الأعداد ومتوسطها:
استخدمنا العلاقة بين مجموع الأعداد ومتوسطها لحساب قيمة المجموع. -
تحليل السلسلة:
قمنا بتحليل السلسلة إلى أعدادها الفردية لفهم توزيع القيم في السلسلة. -
استخدام المعادلات:
استخدمنا المعادلات لتعبير عن العلاقات بين الأعداد وحساب القيم. -
الوسطين في سلسلة فردية:
استخدمنا خاصية السلسلة الفردية لتحديد الوسطين كأصغر وأكبر قيمة في السلسلة. -
التلاقي بالمعادلات:
قمنا بدمج المعادلات للوصول إلى الحلاقة النهائية.
بهذا الشكل، تم استخدام مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية لحل المسألة والتوصل إلى الإجابة النهائية.