حلا لمسألة الكسور الرياضية (مسألة رياضيات)

الكسر المطلوب هو نصف قيمة 3/5. إذا تم زيادة البسط (العدد العلوي) بمقدار 4 وضرب المقام (العدد السفلي) في 2، أصبح الكسر الجديد يعادل 1/3. لنحسب الكسر الأصلي ونجد مجموع البسط والمقام.

لنمثل الكسر الأصلي بـ a/b، حيث a هو البسط و b هو المقام. ونعلم أن a/b يعادل 3/5.

إذاً:
$\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$

عند زيادة البسط بمقدار 4:
$\frac{a + 4}{b}$

وعند ضرب المقام في 2:
$\frac{a + 4}{2b}$

الآن، وفقًا للشرط الثاني، الكسر الجديد يعادل 1/3:
$\frac{a + 4}{2b} = \frac{1}{3}$

لحل المعادلة، نقوم بضرب الطرفين في 3 للتخلص من المقام في الكسر على اليمين:
$3 \times (a + 4) = 2b$

نفتح القوس:
$3a + 12 = 2b$

ومن ثم، نعود إلى الشرط الأول الذي يقول إن الكسر الأصلي يعادل 3/5:
$\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$

لتوحيد المعادلتين، نقوم بضرب الطرفين في 5:
$5a = 3b$

الآن، لدينا نظام معادلتين:
$3a + 12 = 2b$
$5a = 3b$

يمكن حل هذا النظام للعثور على قيم a و b. بعد الحسابات، نجد أن $a = 12$ و $b = 20$.

وبناءً على ذلك، مجموع البسط والمقام للكسر الأصلي هو:
$a + b = 12 + 20 = 32$

لحل هذه المسألة الرياضية، نحتاج إلى الإعتماد على بعض القوانين والمفاهيم الرياضية. دعونا نبدأ بتحديد الكسر الذي نبحث عنه ونمثله بـ $\frac{a}{b}$ حيث $a$ هو البسط و $b$ هو المقام.

القانون الأول الذي سنستخدمه هو قانون التكافؤ، حيث نعلم أن الكسر المطلوب يعادل $\frac{3}{5}$. لذلك:

$\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$

الخطوة التالية تتعلق بالتعبير عن الكسر الجديد الذي نحصل عليه بعد زيادة البسط بمقدار 4 وضرب المقام في 2:

$\frac{a + 4}{2b}$

القانون الثاني الذي سنستخدمه هو قانون المساواة، حيث يُعلن أن هذا الكسر الجديد يكون مكافئًا لـ $\frac{1}{3}$. لذا:

$\frac{a + 4}{2b} = \frac{1}{3}$

لحساب القيم المجهولة $a$ و $b$، نستخدم القانون الثالث الذي ينص على أن الجمع المتقابل للطرفين في المعادلتين يساوي بعضهما البعض. نقوم بحساب ذلك:

$3a + 12 = 2b$

القانون الرابع هو استخدام المعادلة الأصلية مرة أخرى لتوحيد المعلومات:

$5a = 3b$

بعد هذه الخطوات، نحصل على نظام من المعادلات يحتاج إلى حلاً. يمكن حساب قيم $a$ و $b$ عند حل هذا النظام، والذي يؤدي في النهاية إلى $a = 12$ و $b = 20$.

للتأكيد، يمكننا استخدام هذه القيم في المعادلة الأصلية:

$\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

وأخيرًا، نجد الجواب النهائي بجمع البسط والمقام:

$a + b = 12 + 20 = 32$

لقد اعتمدنا في حل هذه المسألة على قوانين الكسور وقوانين الجمع والضرب، وتم استخدام المعادلات لتمثيل العلاقات بين الكميات المجهولة.