حلا لمسألة القسمة بالباقي (مسألة رياضيات)

عند قسمة ثلاثة أعداد صحيحة إيجابية على $47$، كانت باقيات القسمة هي $25$، $20$، و $3$ على التوالي. السؤال هو: إذا تم قسم مجموع هذه الأعداد على $47$، ما هو الباقي؟

لنحسب الباقي عند جمع هذه الأعداد وقسمها على $47$:

لنمثل الأعداد الثلاثة بالترتيب بالأحرف $A$، $B$، و $C$. إذاً، لدينا:

$A \equiv 25 \pmod{47}$
$B \equiv 20 \pmod{47}$
$C \equiv 3 \pmod{47}$

لنجد باقي جمعهم:

$A + B + C \equiv (25 + 20 + 3) \equiv 48 \pmod{47}$

الآن، نستخدم الفارق بين مجموع الأعداد والعدد المضاعف للمقسوم للحصول على الباقي:

$48 – 47 = 1$

إذاً، الباقي عند قسم مجموع الأعداد على $47$ هو $1$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم فهمًا عن كيفية التعامل مع باقي القسمة والعمليات الحسابية المرتبطة بها. سنستخدم الرموز والتعابير الرياضية بشكل مفصل للتعبير عن العلاقات بين الأعداد.

القاعدة الأساسية هي أن باقي القسمة يعبر عن الفرق بين العدد وأقرب مضاعف للمقسوم. لنستعرض القوانين المستخدمة:

1. إذا كان $A \equiv X \pmod{Y}$، فهذا يعني أن الفارق بين $A$ وأي مضاعف لـ $Y$ هو $X$. يمكن التعبير عنه بصيغة $A = kY + X$ حيث $k$ هو عدد صحيح.

2. عند جمع أو طرح الأعداد المتساوية في النموذج $\pmod{Y}$، يمكننا إجراء العمليات على كل عدد على حدة ثم استخدام قوانين الفارق للتحقق من الناتج.

3. إذا كان $A \equiv X \pmod{Y}$ و $B \equiv Z \pmod{Y}$، فإن $A + B \equiv X + Z \pmod{Y}$.

4. إذا كان $A \equiv X \pmod{Y}$ و $B \equiv Z \pmod{Y}$، فإن $A \times B \equiv X \times Z \pmod{Y}$.

الآن، دعونا نطبق هذه القوانين على المسألة:

نعبر عن الأعداد بالترتيب كـ $A$، $B$، $C$. وفقًا للمعطيات، لدينا:

$A \equiv 25 \pmod{47}$
$B \equiv 20 \pmod{47}$
$C \equiv 3 \pmod{47}$

نقوم بجمع الأعداد:

$A + B + C \equiv (25 + 20 + 3) \equiv 48 \pmod{47}$

ثم نستخدم الفارق بين مجموع الأعداد وأي مضاعف للمقسوم للعثور على الباقي:

$48 – 47 = 1$

لذا، الباقي عند قسم مجموع الأعداد على $47$ هو $1$.