حلا لمسألة القسمة الرياضية الشرطية (مسألة رياضيات)

العدد الأصغر الذي عند زيادته بمقدار 7 يكون قابلاً للقسمة على 8 و11 و24 هو 1687. ولنقم بشرح الحل:

للبحث عن العدد المطلوب، نبدأ بالبحث عن الأعداد التي تكون قابلة للقسمة على 8. نضع في اعتبارنا أن هناك فارقًا معينًا بين هذا العدد و7 (الذي يجب أن يكون قابلًا للقسمة على 8)، ولذا نستخدم الرقم 8 كخطوة للبحث. نكتب المعادلة التالية:

$8k + 7$

حيث $k$ هو عدد صحيح يمثل القسمة على 8 بدون باقي. الآن نقوم بالبحث عن الأعداد التي تكون قابلة للقسمة على 11، ونضيف الشرط نفسه:

$11m = 8k + 7$

نقوم بحساب القيم الممكنة لـ $k$ حيث تكون الناتج قابلاً للقسمة على 11. بعد ذلك، نقوم بإضافة الشرط الثالث الذي يتعلق بالقسمة على 24:

$24n = 11m$

نحسب القيم الممكنة لـ $m$ بحيث يكون الناتج قابلاً للقسمة على 24. بعد ذلك، نقوم بحساب القيم المتناظرة لـ $k$ و $m$ حيث تكون النتيجة قابلة للقسمة على 8 و11 و24.

بعد إجراء هذه العمليات الحسابية، نجد أن العدد الأصغر الذي يلبي هذه الشروط هو 1687.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل الشروط المطلوبة واستخدام بعض القوانين الرياضية. دعونا نبدأ بتفاصيل الحل:

1. الشرط الأول (القسمة على 8):
   نفترض وجود عدد صحيح $k$ يجعل العدد $8k + 7$ قابلًا للقسمة على 8 بدون باقي. لحساب قيم ممكنة لـ $k$، نستخدم القاعدة التي تنص على أن أي عدد زوجي يقسم على 8. لذا، نبدأ بتجريب قيم لـ $k$ من هذا النطاق.

   قانون القسمة على 8: إذا كان الرقم الأصغر ينتهي بصفر أو رقم زوجي، فإنه قابل للقسمة على 8.

   نبدأ بالتجريب باختيار قيمة لـ $k$ ونحسب الناتج:

   عندما $k = 0$، يكون العدد $8k + 7 = 7$، وهو ليس قابلًا للقسمة على 8.

   عندما $k = 1$، يكون العدد $8k + 7 = 15$، وهو ليس قابلًا للقسمة على 8.

   عندما $k = 2$، يكون العدد $8k + 7 = 23$، وهو ليس قابلًا للقسمة على 8.

   عندما $k = 3$، يكون العدد $8k + 7 = 31$، وهو قابل للقسمة على 8.

   إذًا، قيمة $k$ التي تفي بالشرط الأول هي 3.

2. الشرط الثاني (القسمة على 11):
   نستخدم القانون الرياضي الذي يقول إذا كان العدد $8k + 7$ قابلاً للقسمة على 11، فإنه يمكن تمثيله على شكل $11m$ حيث $m$ عدد صحيح.

   نقوم بكتابة المعادلة: $11m = 8k + 7$ ونستخدم قيمة $k = 3$ التي حسبناها.

   عندما نحسب، نجد أن $m = 2$. إذًا، الشرط الثاني يتحقق.

3. الشرط الثالث (القسمة على 24):
   نستخدم نفس الفكرة، حيث نستخدم القانون الذي يقول إذا كان العدد $11m$ قابلاً للقسمة على 24، فإنه يمكن تمثيله على شكل $24n$ حيث $n$ عدد صحيح.

   نكتب المعادلة: $24n = 11m$ ونستخدم قيمة $m = 2$ التي حسبناها.

   عندما نحسب، نجد أن $n = 4$. إذًا، الشرط الثالث يتحقق.

إذاً، العدد الأصغر الذي يفي بجميع الشروط هو $8k + 7 = 8(3) + 7 = 24 + 7 = 31$. وبالتالي، العدد هو 31.

القوانين المستخدمة:

• قانون القسمة على 8: إذا كان الرقم الأصغر زوجي، فإنه قابل للقسمة على 8.
• قانون القسمة على 11: إذا كان العدد $8k + 7$ قابلاً للقسمة على 11، فإنه يمكن تمثيله على شكل $11m$ حيث $m$ عدد صحيح.
• قانون القسمة على 24: إذا كان العدد $11m$ قابلاً للقسمة على 24، فإنه يمكن تمثيله على شكل $24n$ حيث $n$ عدد صحيح.