حلا لمسألة القسمة الرياضية

عند قسم العدد الصحيح الإيجابي $n$ على 3، يكون الباقي 1. وعند قسمه على 7، يكون الباقي 5. ما هو أصغر عدد صحيح إيجابي $k$ بحيث يكون مجموع $k + n$ قابلًا للقسمة على 21؟

لنقم بتحليل البيانات المعطاة. الباقي عند قسم العدد $n$ على 3 هو 1، وهذا يعني أن $n$ يمكن تمثيله على شكل $n = 3a + 1$ حيث $a$ هو عدد صحيح.

أيضاً، الباقي عند قسم $n$ على 7 هو 5، لذلك يمكننا كتابة $n$ على شكل $n = 7b + 5$ حيث $b$ هو عدد صحيح.

الآن نقوم بحساب مجموع $k + n$ ونبحث عن أصغر قيمة لـ $k$ بحيث يكون الجمع قابلًا للقسمة على 21.

نقوم بترتيب المعادلة:

الآن نحتاج إلى أصغر قيمة ممكنة لـ $k$ بحيث يكون $k + n$ قابلًا للقسمة على 21.

نحتاج إلى أصغر عدد صحيح يفي بالشرط التالي:

نقوم بتجريب القيم الممكنة لـ $a$ و $b$ حتى نجد القيمة المناسبة. يمكننا أن نجد أن $a = 5$ و $b = 3$ هي القيم المناسبة.

إذًا، الحلاقيمة للمسألة هي $k = 7 \times 3 – 3 \times 5 + 4 = 21 – 15 + 4 = 10$، وبالتالي القيمة الصحيحة الأصغر لـ $k$ هي 10.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام قوانين القسمة والباقي. لنركز أكثر على الخطوات والتفاصيل في الحل.

الباقي عند قسم عدد صحيح $n$ على 3 هو 1، وهو ما يمكن تعبيره بالصيغة التالية:

$n = 3a + 1$

حيث $a$ هو عدد صحيح يمثل عدد المجموعات الكاملة التي تم قسمة $n$ عليها عند قسمه على 3.

أيضاً، الباقي عند قسم $n$ على 7 هو 5، لذلك يمكن كتابة $n$ على شكل:

$n = 7b + 5$

حيث $b$ هو عدد صحيح يمثل عدد المجموعات الكاملة التي تم قسمة $n$ عليها عند قسمه على 7.

الهدف الرئيسي هو البحث عن أصغر عدد صحيح $k$ بحيث يكون $k + n$ قابلًا للقسمة على 21. نقوم بكتابة المعادلة:

$k + n = k + (3a + 1) = 7b + 5$

نقوم بترتيب المعادلة للبحث عن $k$:

$k = 7b – 3a + 4$

الآن نستخدم قوانين القسمة للعثور على أصغر قيمة ممكنة لـ $k$ بحيث يكون $k + n$ قابلًا للقسمة على 21.

$7b – 3a + 4 \equiv 0 \pmod{21}$

نبدأ بتجريب القيم الممكنة لـ $a$ و $b$ حتى نجد القيمة المناسبة. في هذا السياق، استخدمنا $a = 5$ و $b = 3$.

الحل النهائي هو:

$k = 7 \times 3 – 3 \times 5 + 4 = 21 – 15 + 4 = 10$

وبالتالي، أصغر قيمة لـ $k$ هي 10.

القوانين المستخدمة:

1. قانون القسمة: $n = dq + r$ حيث $n$ هو العدد الكلي، $d$ هو المقسوم، $q$ هو الناتج الصحيح، و $r$ هو الباقي.
2. قانون الباقي: إذا قمنا بقسم عدد على $m$ وكان الباقي هو $r$، يمكن تعبير العدد على أنه $mq + r$.
3. قوانين النظام الخطي: يمكن ترتيب وتعديل المعادلات للبحث عن حلول ممكنة باستخدام قوانين الجمع والطرح والضرب.