حلا لمسألة الفيكتورات العمودية (مسألة رياضيات)

نعطيها الأولوية لحل المعادلة الناتجة عن حاصل الضرب الدوري بين القطعتين الناقصتين. لدينا:

$\begin{pmatrix} 2 \\ a \\ -7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ b \end{pmatrix} = \mathbf{0}.$

المنتج الدوري بين هذين الفيكتورين يمثل ناتج تقاطع المستويين التي يتكونان عنهما. لنجد هذا التقاطع، يجب أن نعين الفيكتور الناتج عن الضرب الدوري على أنه يكون عموديًا على كل من الفيكتورين الأصليين. إذاً، يمكننا استخدام خاصية الصفيح العمودية للعثور على قيم الـ $a$ و $b$ المطلوبة.

القاعدة تقول إن حاصل الضرب الدوري بين الفيكتورين يكون عبارة عن فيكتور يكون عموديًا على الفيكتورين الأصليين. هذا يعني أن المنتج الدوري بين الفيكتورين يكون متجهًا يكون عموديًا على كلا الفيكتورين.

للتحقق من ذلك، نستخدم الصيغة التي تعبر عن حاصل الضرب الدوري:

$\begin{pmatrix} 2 \\ a \\ -7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a)(b) – (-7)(4) \\ (-7)(5) – (2)(b) \\ (2)(4) – (a)(5) \end{pmatrix}.$

الآن، نعين هذا الفيكتور على أنه يكون عموديًا على الفيكتورين الأصليين. هذا يعني أن المنتج الداخلي لهذا الفيكتور مع الفيكتور الأول والثاني يكون مساويًا لصفر:

$\begin{pmatrix} a b + 28 \\ -35 – 2b \\ 8 – 5a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ a \\ -7 \end{pmatrix} = 0.$

الآن، نحل هذه المعادلة للعثور على قيم الـ $a$ و $b$:

$(a b + 28)(2) + (-35 – 2b)(a) + (8 – 5a)(-7) = 0.$

نقوم بتوسيع العبارات وتبسيطها:

$2ab + 56 – 35a – 2ab + 14b – 56 + 35a = 0.$

نجد أن كل المصطلحات باستثناء $14b$ تتحول إلى صفر. لذا، يكون الحل الوحيد هو $14b = 0$، ومن ثم $b = 0$.

الآن، بعد حسم قيمة $b$، نستخدمها للعثور على $a$:

$\begin{pmatrix} a b + 28 \\ -35 – 2b \\ 8 – 5a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ b \end{pmatrix} = 0.$

$(ab + 28)(5) + (-35 – 2(0))(4) + (8 – 5a)(0) = 0.$

تبسيط العبارة يؤدي إلى:

$5ab + 140 – 140 = 0.$

تتبين لنا أن $5ab = 0$، ومن ثم $a = 0$.

إذاً، الزوج المرتب الذي يحقق الشرط المعطى هو $(0, 0)$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم خاصية حاصل الضرب الدوري بين الفيكتورين وخاصية الصفيح العمودية. دعونا نستعرض الخطوات بتفصيل أكبر ونشير إلى القوانين المستخدمة.

المسألة تتعلق بحساب حاصل الضرب الدوري بين الفيكتورين:

$\begin{pmatrix} 2 \\ a \\ -7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ b \end{pmatrix}.$

حاصل الضرب الدوري بين الفيكتورين يُحسب باستخدام الصيغة:

$\begin{pmatrix} (a)(b) – (-7)(4) \\ (-7)(5) – (2)(b) \\ (2)(4) – (a)(5) \end{pmatrix}.$

هذا المنتج يُمثل متجهًا يكون عموديًا على الفيكتورين الأصليين، وهذا يعني أن حاصل الضرب الداخلي بين هذا المتجه والفيكتور الأصلي الأول والثاني يساوي صفر:

$\begin{pmatrix} a b + 28 \\ -35 – 2b \\ 8 – 5a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ a \\ -7 \end{pmatrix} = 0.$

نوسع هذه المعادلة:

$2ab + 56 – 35a – 2ab + 14b – 56 + 35a = 0.$

تتجزأ كل المصطلحات باستثناء $14b$ وتُلغى، ونحصل على $14b = 0$، ومن ثم $b = 0$.

بعد حسم $b$، نستخدم القيمة المعروفة في المعادلة الأصلية للعثور على $a$:

$\begin{pmatrix} a b + 28 \\ -35 – 2b \\ 8 – 5a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ b \end{pmatrix} = 0.$

نستبدل $b$ بالقيمة المعروفة $0$:

$(ab + 28)(5) + (-35 – 2(0))(4) + (8 – 5a)(0) = 0.$

نبسط هذه المعادلة:

$5ab + 140 – 140 = 0.$

نجد أن $5ab = 0$، ومن ثم $a = 0$.

إذًا، الزوج المرتب الذي يحقق الشرط المعطى هو $(0, 0)$.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. حاصل الضرب الدوري بين الفيكتورين: يُحسب باستخدام صيغة محددة لحساب القطعة الناقصة في المصفوفة الناتجة.
2. الصفيح العمودية: إذا كان حاصل الضرب الدوري بين الفيكتورين يمثل متجهًا عموديًا على الفيكتورين الأصليين، فإن المنتج الداخلي لهذا المتجه مع الفيكتورين الأصليين يكون مساويًا لصفر.