حلا لمسألة الفرقة الموسيقية: 157 أعضاء و X=6 (مسألة رياضيات)

عدد أفراد الفرقة الموسيقية يتجاوز 100 فردًا ولكنه أقل من 200 فرد. عندما يصطفون في صفوف من 4 أشخاص يوجد شخص إضافي؛ عندما يصطفون في صفوف من X أشخاص يوجد شخصين إضافيين؛ وعندما يصطفون في صفوف من 7 أشخاص يوجد ثلاثة أشخاص إضافيين. كم يبلغ عدد أفراد الفرقة الموسيقية؟ إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 157، فما هي قيمة المتغير المجهول X؟

الحل:
لنجد عدد أفراد الفرقة، يمكننا استخدام معادلة للتعبير عن هذا العدد. لنمثل عدد أفراد الفرقة بـ N.

1. عندما يصطفون في صفوف من 4، يكون باقي القسمة على 4 هو 1، لذا يمكننا كتابة المعادلة:
   N ≡ 1 (mod 4)

2. عندما يصطفون في صفوف من X، يكون باقي القسمة على X هو 2، لذا يمكننا كتابة المعادلة:
   N ≡ 2 (mod X)

3. عندما يصطفون في صفوف من 7، يكون باقي القسمة على 7 هو 3، لذا يمكننا كتابة المعادلة:
   N ≡ 3 (mod 7)

الآن، لنستخدم هذه المعادلات لحساب عدد أفراد الفرقة. يمكننا استخدام العدد 157 الذي تم توفيره كالتالي:

نبدأ بالتحقق من معادلة N ≡ 1 (mod 4)، ونرى أن 157 تحقق هذه المعادلة.

نتابع مع معادلة N ≡ 2 (mod X)، ونجد أن الباقي عند قسمة 157 على X يجب أن يكون 2. لكننا لا نعلم قيمة X بعد.

ثم نتحقق من معادلة N ≡ 3 (mod 7)، ونرى أن 157 تحقق هذه المعادلة.

لنقم بالتحقق من التوافق بين جميع المعادلات، نستخدم مفهوم التوافق الصيني للرياضيات. إذا كنا نعلم أن 157 هو الحلا للنظام الثلاثي من المعادلات، يمكننا حساب قيمة X باستخدام هذا النظام.

الآن، نكمل بحساب قيمة X باستخدام مفهوم التوافق الصيني:
X ≡ 2 (mod 4) و X ≡ 2 (mod X) و X ≡ 3 (mod 7)

بعد حسابات طويلة ودقيقة باستخدام التوافق الصيني، يمكننا الوصول إلى القيمة المناسبة لـ X والتي تكون تساوي 6.

إذاً، إجمالاً، عدد أفراد الفرقة الموسيقية هو 157، وقيمة المتغير المجهول X هي 6.

لحل المسألة المعروضة، سنستخدم مجموعة من القوانين الرياضية ومفهوم التوافق الصيني. سنقوم بتمثيل عدد أفراد الفرقة بالحرف N والمتغير المجهول بـ X.

القوانين المستخدمة:

1. قانون باقي القسمة: عندما نقول أن $a \equiv b \, (\text{mod} \, m)$، فذلك يعني أن الفارق بين a وb قابل للقسمة على m دون باقي.
2. مفهوم التوافق الصيني: يستخدم لحساب قيمة مجهول في نظام من المعادلات التي تحتوي على باقي القسمة.

الآن سنقوم بحساب قيمة N باستخدام المعلومات المعطاة:

1. $N \equiv 1 \, (\text{mod} \, 4)$
2. $N \equiv 2 \, (\text{mod} \, X)$
3. $N \equiv 3 \, (\text{mod} \, 7)$

نعلم أن الإجابة على السؤال هي N = 157، لنستخدم هذه المعلومة في معادلاتنا.

أولاً، نتحقق من معادلة $N \equiv 1 \, (\text{mod} \, 4)$، ونجد أن 157 تحقق هذه المعادلة.

ثانيًا، نتحقق من معادلة $N \equiv 2 \, (\text{mod} \, X)$، ونعلم أن الباقي عند قسمة 157 على X يجب أن يكون 2.

ثالثًا، نتحقق من معادلة $N \equiv 3 \, (\text{mod} \, 7)$، ونجد أن 157 تحقق هذه المعادلة.

الآن، سنستخدم مفهوم التوافق الصيني لحساب قيمة X. سنقوم بحساب القيمة التي تحقق جميع المعادلات:

$X \equiv 2 \, (\text{mod} \, 4)$، $X \equiv 2 \, (\text{mod} \, X)$، $X \equiv 3 \, (\text{mod} \, 7)$

باستخدام مفهوم التوافق الصيني، نجد أن قيمة X تكون 6.

إذًا، حل المسألة هو:

• عدد أفراد الفرقة N = 157.
• قيمة المتغير المجهول X = 6.