حلا لمسألة العمل والزمن: الإنجاز الفردي (مسألة رياضيات)

الرجل يستطيع إنجاز قطعة من العمل في 7 أيام، ولكن بمساعدة ابنه، يمكنه الانتهاء منها في 3 أيام. ما هو الوقت الذي يستطيع فيه الابن إنجاز العمل بمفرده؟

الحل:

لنفترض أن العمل الذي يقوم به الرجل لديه وحدة قياسية، فلنقم بتحديد معدل أداء الرجل بمفرده بالاستناد إلى معلومة أنه يستغرق 7 أيام لإكمال العمل. إذاً، معدل أداءه هو 1/7 من العمل يوميًا.

الآن، عندما يعمل الرجل مع ابنه، يمكنهما إكمال نفس العمل في 3 أيام. لنحسب معدل أدائهما معًا بناءً على هذه المعلومة. إذاً، معدل أدائهما هو 1/3 من العمل يوميًا.

الآن، لنحسب معدل أداء الابن بمفرده. إذا كان معدل أداء الرجل وابنه معًا هو 1/3، ومعدل أداء الرجل بمفرده هو 1/7، يمكننا خصم معدل أداء الرجل من معدل أداء الرجل وابنه للحصول على معدل أداء الابن بمفرده.

(1/3) – (1/7) = (7 – 3) / (3 * 7) = 4 / 21

لذا، معدل أداء الابن بمفرده هو 4/21 من العمل يوميًا.

الآن، لنحسب الوقت الذي يحتاجه الابن لإكمال العمل بمفرده. نقوم بتقسيم العمل الكامل على معدل أداء الابن.

1 / (4/21) = 21 / 4

لذا، الابن يحتاج إلى 21 / 4 أيام لإكمال العمل بمفرده.

بالتالي، يستطيع الابن إنجاز العمل بمفرده في 5.25 أيام.

بالتأكيد، دعونا نقوم بحل المسألة بمزيد من التفصيل، مستخدمين بعض القوانين الرياضية المستندة إلى مفهوم العمل والزمن.

المعطيات:

• الرجل يستطيع إنجاز العمل بمفرده في 7 أيام.
• الرجل وابنه يستطيعان إنجاز نفس العمل معًا في 3 أيام.

قوانين العمل والزمن:

1. معدل الأداء (Rate) يتناسب عكسياً مع الوقت (Time)، أي أنه كلما زاد معدل الأداء، قل الوقت اللازم لإكمال العمل.
   $\text{Rate} = \frac{1}{\text{Time}}$

2. إذا كان العمل مشتركًا بين عدة أشخاص، يمكن جمع معدلات أدائهم.
   $\text{Combined Rate} = \text{Rate}_1 + \text{Rate}_2 + \ldots$

3. الوقت اللازم لإكمال العمل يتناسب عكسياً مع معدل الأداء.
   $\text{Time} = \frac{1}{\text{Rate}}$

الآن لنحسب معدل أداء الرجل بمفرده:
$\text{Rate}_{\text{Man}} = \frac{1}{7}$

ومعدل أداء الرجل وابنه معًا:
$\text{Rate}_{\text{Man+Son}} = \frac{1}{3}$

الآن، لنحسب معدل أداء الابن بمفرده، نقوم بطرح معدل أداء الرجل بمفرده من معدل أداء الرجل وابنه معًا:
$\text{Rate}_{\text{Son}} = \text{Rate}_{\text{Man+Son}} – \text{Rate}_{\text{Man}}$
$\text{Rate}_{\text{Son}} = \frac{1}{3} – \frac{1}{7}$

بتبسيط الكسور، نحصل على:
$\text{Rate}_{\text{Son}} = \frac{4}{21}$

الآن، لنحسب الوقت اللازم للابن لإكمال العمل بمفرده:
$\text{Time}_{\text{Son}} = \frac{1}{\text{Rate}_{\text{Son}}}$
$\text{Time}_{\text{Son}} = \frac{1}{\frac{4}{21}}$

بضرب الكسر في الكسر العكسي، نحصل على:
$\text{Time}_{\text{Son}} = \frac{21}{4}$

وبالتالي، يحتاج الابن إلى $\frac{21}{4}$ أيام لإكمال العمل بمفرده.

هذا هو الحل بتفصيل مستخدمًا قوانين العمل والزمن.