حلا لمسألة الطلاب في مجموعة: التاريخ وليس الإحصاء

في مجموعة مكونة من 90 طالبًا، يدرس 30 طالبًا التاريخ، و32 طالبًا يدرسون الإحصاء. إذا كان 59 طالبًا يدرسون التاريخ أو الإحصاء أو كليهما، فكم عدد الطلاب الذين يدرسون التاريخ ولكن لا يدرسون الإحصاء؟

لنقم بحساب عدد الطلاب الذين يدرسون التاريخ فقط، يمكننا استخدام مبدأ الجمع الضربي. إذا كان هناك 30 طالبًا يدرسون التاريخ و 59 طالبًا يدرسون التاريخ أو الإحصاء، فإن العدد الإجمالي للطلاب الذين يدرسون التاريخ أو الإحصاء هو 59.

عدد الطلاب الذين يدرسون الإحصاء فقط يمكن حسابه بطرح عدد الطلاب الذين يدرسون التاريخ أو الإحصاء من إجمال عدد الطلاب الذين يدرسون الإحصاء، وهو 32.

إذاً، عدد الطلاب الذين يدرسون التاريخ ولكن لا يدرسون الإحصاء يمكن حسابه بطرح عدد الطلاب الذين يدرسون التاريخ أو الإحصاء من إجمال عدد الطلاب الذين يدرسون التاريخ، والناتج يكون:
$30 – (59 – 32) = 30 – 27 = 3$

إذاً، هناك 3 طلاب يدرسون التاريخ ولكن لا يدرسون الإحصاء.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على مفهوم القوانين الرياضية المستخدمة في نظرية المجموعات والاحتمالات. لنقم بتوضيح الخطوات والقوانين المستخدمة:

1. قانون الجمع الضربي:
   إذا كنا نعرف عدد الأفراد في مجموعة A وعدد الأفراد في مجموعة B، يمكننا حساب عدد الأفراد في تجمع الاثنين معًا باستخدام قانون الجمع الضربي، الذي يقول: $|A \cup B| = |A| + |B| – |A \cap B|$
   حيث $|A \cup B|$ هو عدد الأفراد الذين ينتمون إلى A أو B، و $|A \cap B|$ هو عدد الأفراد الذين ينتمون إلى A و B معًا.

2. التفرع بين المجموعات:
   نستخدم مفهوم الفرق بين عدد الأفراد في مجموعة وعدد الأفراد في تجمع مجموعتين. إذا كنا نريد معرفة عدد الأفراد الذين ينتمون إلى مجموعة A ولكن لا ينتمون إلى مجموعة B، يمكننا استخدام العملية التفريعية $(A – B)$.

التطبيق على المسألة:

لنستخدم هذه القوانين في حل المسألة:

1. تطبيق قانون الجمع الضربي:
   نعلم أن $|A \cup B| = 59$ (عدد الطلاب الذين يدرسون التاريخ أو الإحصاء أو كليهما)، $|A| = 30$ (عدد الطلاب الذين يدرسون التاريخ)، و $|B| = 32$ (عدد الطلاب الذين يدرسون الإحصاء). نقوم بتطبيق القانون:
   $59 = 30 + 32 – |A \cap B|$
   نقوم بحساب $|A \cap B|$ ونجد أنه يساوي $3$ (عدد الطلاب الذين يدرسون التاريخ والإحصاء معًا).

2. استخدام التفرع بين المجموعات:
   نعلم أن $|A – B|$ يعبر عن عدد الطلاب الذين يدرسون التاريخ ولكن لا يدرسون الإحصاء. نستخدم هذا المفهوم:
   $|A – B| = |A| – |A \cap B| = 30 – 3 = 27$

إذاً، هناك 27 طالبًا يدرسون التاريخ ولكن لا يدرسون الإحصاء.