حلا لمسألة الضفادع والبط

في بحيرة هادئة وجميلة، يسكنها مجموعة من الطيور والضفادع، وتكون نسبة عددهما متناسبة. إذا كانت نسبة عدد البط إلى عدد الضفادع تكون 37:39 على التوالي، وكان متوسط عددهما في البحيرة يبلغ 132، فلنقم بفحص هذا الواقع الجميل بتفصيل.

لنمثل عدد البط بـ “37x” حيث “x” هو عامل التناسب، وعدد الضفادع بـ “39x”، لأن النسبة بينهما تظل ثابتة وتكون دائمًا 37:39.

إذاً، يكون المتوسط هو مجموع العددين مقسومًا على عددهما. وبمعلومية أن المتوسط يبلغ 132، يكون لدينا المعادلة:

$\frac{37x + 39x}{2} = 132$

الآن لنقم بحساب قيمة “x”، وذلك بضرب المتوسط في 2 ومن ثم قسمه على مجموع النسب:

$37x + 39x = 2 \times 132$

$76x = 264$

$x = \frac{264}{76}$

$x = \frac{33}{19}$

الآن بعد أن قمنا بحساب قيمة “x”، يمكننا استخدامها لحساب عدد الضفادع بضربها في عدد الضفادع الأصلي (39x):

$عدد\ الضفادع = 39 \times \frac{33}{19}$

$عدد\ الضفادع = \frac{39 \times 33}{19}$

$عدد\ الضفادع = \frac{1287}{19}$

$عدد\ الضفادع \approx 67.52$

لكن نظرًا لأن العدد يجب أن يكون عددًا صحيحًا، فإننا نقربه إلى العدد الصحيح الأقرب. لذا، عدد الضفادع في البحيرة يكون تقريبًا 67 ضفدعًا.

بالطبع، دعونا نقوم بتوسيع التفاصيل لحل المسألة ونستخدم بعض القوانين الرياضية في هذا السياق.

لنبدأ بتعريف الرموز:

• دع $x$ يكون العامل التناسبي الذي يمثل عدد البط.
• عدد البط $= 37x$
• عدد الضفادع $= 39x$

المتوسط الحسابي يُحسب بقسمة مجموع الأعداد على عددها. لذلك، المعادلة تصبح:
$\frac{37x + 39x}{2} = 132$

نضرب المعادلة في 2 للتخلص من المقام:
$37x + 39x = 264$

الآن، نجمع معاملات $x$ معًا:
$76x = 264$

نقسم على 76 للحصول على قيمة $x$:
$x = \frac{264}{76} = \frac{33}{19}$

الآن، نحسب عدد الضفادع بضرب قيمة $x$ في عدد الضفادع الأصلي:
$عدد\ الضفادع = 39 \times \frac{33}{19} = \frac{1287}{19}$

وهنا تأتي القوانين الرياضية المستخدمة:

1. المتوسط الحسابي: يُحسب بجمع الأعداد وقسمها على عددها.
2. التناسب العكسي: عندما نكون لدينا نسبة بين الكميات ونريد حساب العامل التناسب، نقوم بتقسيم 1 على النسبة.

في النهاية، نلاحظ أن العدد الناتج لا يمكن أن يكون عددًا صحيحًا، لذا نقربه إلى أقرب عدد صحيح، وهو 67 ضفدعًا.