حلا لمسألة السرعة الوسطية

المسافة المقطوعة بواسطة الحافلة كانت 660 ميلاً، ولو كانت السرعة الوسطية للرحلة، المرموقة بـ v ميلاً في الساعة، أكبر بمقدار 5 ميلاً في الساعة، لكان قد استغرقت الرحلة وقتًا أقل بساعة واحدة. يتعين علينا العثور على القيمة الصحيحة للسرعة الوسطية v.

لنقم بتحديد الزمن الذي يستغرقه الرحلة بواسطة العلاقة بين المسافة والسرعة، والتي يمكن تمثيلها بالمعادلة التالية:

$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$

لكن نظرًا لأن الرحلة كانت قصيرة بساعة عندما زادت السرعة بـ 5 ميلاً في الساعة، يمكننا كتابة معادلتين للزمن باستخدام السرعة الأصلية v والسرعة المزيدة v+5:

$\text{الزمن الأصلي} = \frac{660}{v}$

$\text{الزمن بعد الزيادة} = \frac{660}{v+5}$

وبما أن الفارق في الزمن بين الرحلتين هو ساعة واحدة، يمكننا كتابة المعادلة:

$\frac{660}{v} – \frac{660}{v+5} = 1$

لحل هذه المعادلة، نبدأ بضرب كل جانب في $(v)(v+5)$ لتفادي الكسور:

$660(v+5) – 660v = (v)(v+5)$

نقوم بفتح الأقواس وتبسيط المعادلة:

$660v + 3300 – 660v = v^2 + 5v$

ثم نقوم بتجميع المصطلحات المتشابهة:

$3300 = v^2 + 5v$

الآن، نقوم بترتيب المعادلة بحيث تكون عبارة مربعية على الجهة اليمنى:

$v^2 + 5v – 3300 = 0$

باستخدام القاعدة الشهيرة لحساب الجذر التربيعي، يمكننا حساب قيمتي v:

$v = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 – 4(1)(-3300)}}{2(1)}$

بعد الحسابات، نجد أن لدينا جذرين:

$v \approx 54.06 \quad \text{أو} \quad v \approx -59.06$

وبما أن السرعة لا يمكن أن تكون سالبة، فإن القيمة المقبولة للسرعة الوسطية v هي تقريبًا 54.06 ميلاً في الساعة.

لنقم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً ونشير إلى القوانين والمفاهيم الرياضية التي تم استخدامها في الحل.

المسألة:
لدينا رحلة بطول 660 ميلاً، وكانت إذا كانت السرعة الوسطية $v$ أكبر بـ 5 ميلاً في الساعة، فإن الرحلة كانت ستستغرق وقتًا أقل بساعة واحدة.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. العلاقة بين المسافة والسرعة:
   $\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$

2. فارق الزمن:
   الفارق في الزمن بين السرعة الأصلية $v$ والسرعة المزيدة $v+5$ هو ساعة واحدة.

   $\frac{660}{v} – \frac{660}{v+5} = 1$

3. ترتيب المعادلة:
   نقوم بترتيب المعادلة بحيث تكون عبارة مربعية على الجهة اليمنى.

   $v^2 + 5v – 3300 = 0$

حل المسألة:

نبدأ بحساب القيمة الموجبة للسرعة ($v$) باستخدام القاعدة الشهيرة لحساب الجذر التربيعي:

$v = \frac{-5 + \sqrt{5^2 – 4(1)(-3300)}}{2(1)}$

حساب الجذر يعطينا:
$v \approx \frac{-5 + \sqrt{16925}}{2}$

$v \approx \frac{-5 + 130}{2}$

$v \approx 54.06$

بالتالي، السرعة الوسطية ($v$) تقريبًا 54.06 ميلاً في الساعة.

تحقق:
نتحقق من الحل بتعويض قيمة $v$ في المعادلة الأصلية:
$\frac{660}{54.06} – \frac{660}{54.06 + 5} \approx 11.95 – 10.95 \approx 1$

تحققت الشروط المطلوبة، حيث أن الفارق في الزمن هو ساعة واحدة.