حلا لمسألة الجبر بالحذف والجمع (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المطلوب حلها هي: إذا كانت قيمتي $x$ و$y$ تحقق المعادلات التالية: $x+y = 10$ و $2x+y = 13$، فما هو قيمة التعبير $x^2 – y^2$؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام طريقة الإحلال أو طريقة الحذف والجمع. سنقوم بحساب قيمة $x$ و $y$ من المعادلات المعطاة.

نبدأ بطرح المعادلة الأولى من الثانية للتخلص من $y$:

$(2x + y) – (x + y) = 13 – 10$

يُبسط الجهة اليسرى من المعادلة إلى:

$x = 3$

الآن، بعد أن حصلنا على قيمة $x$، نستخدمها في أي من المعادلتين الأصليتين لحساب قيمة $y$. لنستخدم المعادلة الأولى:

$x + y = 10$

$3 + y = 10$

من هنا نجد أن:

$y = 7$

الآن، وبعد أن حصلنا على قيم $x$ و $y$، نقوم بحساب قيمة التعبير $x^2 – y^2$:

$x^2 – y^2 = 3^2 – 7^2$

$x^2 – y^2 = 9 – 49$

$x^2 – y^2 = -40$

إذا كانت القيم المعطاة ل $x$ و $y$ صحيحة، فإن قيمة التعبير $x^2 – y^2$ هي $-40$.

سنقوم بحل المسألة باستخدام طريقة الحذف والجمع. لنفترض أن لدينا المعادلات التالية:

$x + y = 10$
$2x + y = 13$

للبداية، نستخدم العملية الجبرية للحذف والجمع للتخلص من إحدى المتغيرات. في هذه الحالة، سنقوم بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية للتخلص من $y$:

$(2x + y) – (x + y) = 13 – 10$

بتبسيط الجهة اليسرى:

$2x + y – x – y = 3$

$x = 3$

الآن، بعد أن حصلنا على قيمة $x$، نستخدمها في المعادلة الأولى لحساب $y$:

$x + y = 10$

$3 + y = 10$

$y = 7$

الآن لدينا القيم $x=3$ و $y=7$. يمكننا التحقق من صحة هذه القيم بوضعها في المعادلتين الأصليتين.

الآن، لحساب قيمة التعبير $x^2 – y^2$، نستخدم هذه القيم:

$x^2 – y^2 = 3^2 – 7^2$

$x^2 – y^2 = 9 – 49$

$x^2 – y^2 = -40$

القوانين المستخدمة هي:

1. قانون الحذف والجمع: استخدمنا هذا القانون للتخلص من إحدى المتغيرات عن طريق طرح إحدى المعادلات من الأخرى.
2. قانون التعويض: استخدمنا هذا القانون لتعويض قيمة متغير في معادلة أخرى.
3. قوانين الجبر الأساسية: قوانين الجمع والطرح والضرب والقسمة.

بهذه الطريقة، تم حل المسألة باستخدام القوانين الجبرية الأساسية.