حلا لمسألة التقاطع الرياضي (مسألة رياضيات)

المعادلات $y=5x+3$، $y=-2x-25$، و$y=3x+k$ تتقاطع في نقطة واحدة. الهدف هو حساب قيمة $k$. لحل هذه المسألة، نقوم بوضع قيمة $y$ المتعلقة بكل معادلة في $y$ للمعادلة الثالثة ومن ثم نحسب القيمة المطلوبة.

نبدأ بوضع قيمة $y$ في المعادلة الأولى:
$5x+3 = 3x+k$

نقوم بجمع $-3x$ من الجهتين للتخلص من $x$ في الجهة اليمنى:
$5x – 3x + 3 = k$

نبسط الطرف الأيسر:
$2x + 3 = k$

لدينا الآن قيمة $k$، وهي $2x + 3$.

تمامًا، الآن لنحدد قيمة $k$ نستخدم المعادلة الثانية:
$-2x – 25 = 3x + k$

نطرح $3x$ من الطرفين:
$-2x – 25 – 3x = k$

نجمع معاملات $x$:
$-5x – 25 = k$

لكننا نريد القيمة النهائية لـ $k$، لذا نقوم بإزالة السالب من الطرفين:
$k = -5x + 25$

ونذكر أننا قد حسبنا القيمة الأولى لـ $k$ وهي $2x + 3$، لذا نعيد كتابة القيمة النهائية:
$k = -5x + 25 = 2x + 3$

نقوم بحساب قيمة $x$ من هذه المعادلة. نطرح $2x$ من الطرفين:
$-7x + 25 = 3$

نطرح $25$ من الطرفين:
$-7x = -22$

نقسم على $-7$ للحصول على قيمة $x$:
$x = \frac{22}{7}$

الآن نعيد وضع هذه القيمة في أي معادلة من المعادلات الأصلية. دعونا نستخدم المعادلة الأولى:
$y = 5\left(\frac{22}{7}\right) + 3$

نقوم بحساب هذا الجزء:
$y = \frac{110}{7} + 3$

لجمع هذه الكسور، يجب أن نجعل المقام مشتركًا:
$y = \frac{110}{7} + \frac{21}{7}$

الآن نجمع البسط:
$y = \frac{131}{7}$

إذاً، النقطة التي تتقاطع فيها المعادلات هي $\left(\frac{22}{7}, \frac{131}{7}\right)$ والقيمة المطلوبة لـ $k$ هي:
$k = -5\left(\frac{22}{7}\right) + 25$

نقوم بحساب هذا الجزء:
$k = -\frac{110}{7} + 25$

لجمع هذه الكسور، يجب أن نجعل المقام مشتركًا:
$k = -\frac{110}{7} + \frac{175}{7}$

الآن نجمع البسط:
$k = \frac{65}{7}$

إذاً، قيمة $k$ هي $\frac{65}{7}$.

لحل هذه المسألة، استخدمنا عدة خطوات وقوانين منطقية ورياضية. اليك تفصيل الحل مع القوانين المستخدمة:

1. وضع القيم في المعادلة:
   بدأنا بوضع قيمة $y$ المتعلقة بالمعادلتين الأولى والثانية في المعادلة الثالثة:
   $5x + 3 = 3x + k$

2. التبسيط:
   قمنا بجمع $-3x$ من الطرفين للتخلص من $x$ في الجهة اليمنى. هذا يعتمد على قاعدة الجمع والطرح في المعادلات.

3. التبسيط الإضافي:
   نقلنا $3$ إلى الجهة اليمنى لتبسيط المعادلة، وحصلنا على $2x + 3 = k$.

4. استخدام المعادلة الثانية:
   بعد ذلك، وضعنا قيمة $y$ في المعادلة الثانية وحصلنا على:
   $-2x – 25 = 3x + k$

5. التبسيط والجمع والطرح:
   نقوم بطرح $3x$ من الطرفين للتخلص من $x$ وحصلنا على $-5x – 25 = k$.

6. تحديد القيمة النهائية لـ $k$:
   قمنا بإزالة السالب من الطرفين للحصول على $k = -5x + 25$.

7. حل المعادلة لتحديد قيمة $x$:
   استخدمنا المعادلة التي حصلنا عليها في الخطوة 2 لحساب قيمة $x$ وحصلنا على $x = \frac{22}{7}$.

8. تحديد قيمة $y$:
   استخدمنا قيمة $x$ في إحدى المعادلات الأصلية، واخترنا المعادلة الأولى:
   $y = 5\left(\frac{22}{7}\right) + 3$
   حسبنا هذا الجزء وجمعنا الكسور للحصول على $y = \frac{131}{7}$.

9. حساب قيمة $k$ النهائية:
   وضعنا القيمة التي حصلنا عليها لـ $x$ في المعادلة التي حسبناها لـ $k$:
   $k = -5\left(\frac{22}{7}\right) + 25$
   حسبنا هذا الجزء وجمعنا الكسور للحصول على $k = \frac{65}{7}$.

القوانين المستخدمة:

• قوانين الجمع والطرح في المعادلات.
• ضرب وقسم الطرفين في المعادلات للتخلص من المتغيرات.
• التبسيط الجبري لتبسيط المعادلات.
• استخدام المعادلات الأصلية للتحقق من الحلول.

هذه القوانين تمثل الخطوات الرئيسية في حل هذه المسألة الرياضية.