حلا لمسألة الباقي الرياضي (مسألة رياضيات)

عند قسمة ثلاثة أعداد صحيحة إيجابية على 12، تكون الباقيان هما 7، 9، و10 على التوالي. وعند قسم مجموع هذه الأعداد على عدد مجهول يُمثل بـX، يكون الباقي 2. ما هو قيمة المتغير الغير معروف X؟

لحل هذه المسألة، دعونا نعتبر الأعداد الثلاثة كـ a، b، و c. إذاً، لدينا:

$a \equiv 7 \pmod{12}$
$b \equiv 9 \pmod{12}$
$c \equiv 10 \pmod{12}$

ونحن نبحث عن قيمة X، حيث:
$(a + b + c) \equiv 2 \pmod{X}$

الآن، دعونا نحسب قيم الأعداد a، b، و c. نستخدم الباقي عند القسمة لتحديد الأعداد بناءً على الشروط المعطاة:

$a = 12k + 7$
$b = 12m + 9$
$c = 12n + 10$

حيث k، m، و n هي أعداد صحيحة.

المجموع الكلي للأعداد هو:
$a + b + c = 12(k + m + n) + 26$

والآن نقوم بتعبيره بشكل آخر باستخدام الباقي:
$(a + b + c) \equiv 26 \equiv 2 \pmod{X}$

هذا يعني أن الفارق بين $12(k + m + n)$ و 2 يجب أن يكون مضاعفًا لـ X. إذاً، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$12(k + m + n) \equiv 24 \pmod{X}$

لكننا نعلم أن $a + b + c$ يمكن أن يعبر عنه بشكل آخر كمضاعف لـ X:

$a + b + c \equiv 2 \pmod{X}$

الآن نقارن بين الناتجين ونجد أن:
$12(k + m + n) \equiv 24 \equiv 2 \pmod{X}$

وبتقسيم الطرفين على 2، نحصل على:
$6(k + m + n) \equiv 1 \pmod{X}$

هنا نرى أن 6(k + m + n) يجب أن يكون باقيًا 1 عند القسمة على X. لنجد أصغر قيمة لـ X، نضع k + m + n يساوي 1:

$6(1) \equiv 1 \pmod{X}$

وبالتالي، نجد أن:
$X = 6$

إذاً، قيمة المتغير X هي 6.

لحل هذه المسألة، سنقوم بالتفصيل في استخدام القوانين والخطوات الرياضية المطبقة. سنقوم بتعريف الأعداد المجهولة باستخدام باقي القسمة لتلبية الشروط المعطاة.

للبداية، لنعتبر الأعداد الثلاثة كـ a، b، و c. يُمثل a الباقي عند قسمها على 12 باقي 7، و b تعطي باقي 9، و c تُعبر عن باقي 10. يمكننا كتابة ذلك على النحو التالي:

$a \equiv 7 \pmod{12}$
$b \equiv 9 \pmod{12}$
$c \equiv 10 \pmod{12}$

ثم، نقوم بتعبير قيم الأعداد a، b، و c بشكل عام باستخدام معادلات عامة للباقي عند القسمة:

$a = 12k + 7$
$b = 12m + 9$
$c = 12n + 10$

حيث k، m، و n هي أعداد صحيحة.

المجموع الكلي للأعداد يكون:

$a + b + c = 12(k + m + n) + 26$

ونستخدم الباقي لتحديد العلاقة بين $(a + b + c)$ و X:

$(a + b + c) \equiv 26 \equiv 2 \pmod{X}$

ثم نقوم بمقارنة الناتجين ونجد أن:

$12(k + m + n) \equiv 24 \equiv 2 \pmod{X}$

الخطوة التالية هي تقسيم الطرفين على 2 للحصول على:

$6(k + m + n) \equiv 1 \pmod{X}$

هنا، نستخدم القاعدة التي تقول إذا كانت $ax \equiv 1 \pmod{m}$ و a و m هما أعداد صحيحة و x هو العدد الذي نبحث عنه، فإن x يُعرف باسم “عنصر الضرب العكسي” لـ a على مود m. في هذه الحالة، نجد أن:

$6(k + m + n) \equiv 1 \pmod{X}$

لذا، 6 هي العنصر الضربي العكسي للـ $k + m + n$ على مود X.

للعثور على أصغر قيمة لـ X، نفترض أن $k + m + n = 1$، وهذا يؤدي إلى:

$6 \equiv 1 \pmod{X}$

ومن هنا نجد أن:

$X = 6$

إذاً، تمثل هذه الخطوات استخدام قوانين الباقي عند القسمة والعنصر الضربي العكسي لحل المسألة.