حلا لمسألة الباقي الرياضي (مسألة رياضيات)

العدد الأقل الذي يجب خصمه من 1828 حتى يكون الباقي عند القسمة على 8، 12، و16 هو 4.

لنقم بحساب الفارق الذي يجب خصمه. لنجد هذا العدد، يمكننا استخدام العلاقة التالية:

الباقي = (العدد الأصلي – العدد المُطلوب) % المقام

لنحسب الفارق الذي يجب خصمه عند القسمة على 8:

4 = (1828 – العدد المُطلوب) % 8

نقوم بحل المعادلة للعثور على القيمة المطلوبة:

العدد المُطلوب = 1828 – (4 + (8 × ك))

حيث k هو عدد صحيح. نحسب القيم الممكنة لـ k بحيث تكون النتيجة 4.

نقوم بتكرار نفس العملية للقسمة على 12 و 16:

العدد المُطلوب = 1828 – (4 + (12 × ك))
العدد المُطلوب = 1828 – (4 + (16 × ك))

نحسب القيم الممكنة للـ k في كل حالة.

الحل:

للقسمة على 8:
1828 – (4 + 8k) = 8n
1824 – 8k = 8n
8k = 1824 – 8n
k = 228 – n

للقسمة على 12:
1828 – (4 + 12k) = 12n
1824 – 12k = 12n
12k = 1824 – 12n
k = 152 – n

للقسمة على 16:
1828 – (4 + 16k) = 16n
1824 – 16k = 16n
16k = 1824 – 16n
k = 114 – n

نرى أن جميع القيم الممكنة للـ k تتوافق عندما يكون n يساوي 114. لذا:

العدد المُطلوب = 1828 – (4 + (16 × 114))
العدد المُطلوب = 1828 – (4 + 1824)
العدد المُطلوب = 1828 – 1828
العدد المُطلوب = 0

إذاً، العدد الأقل الذي يجب خصمه هو 0.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحديد القيم الممكنة للعدد الذي يجب خصمه من 1828 ليكون الباقي عند القسمة على 8، 12، و16 هو 4. سنستخدم قوانين الحساب والقسمة للوصول إلى الحل.

لنقم بحساب الفارق الذي يجب خصمه عند القسمة على 8:

العدد المُطلوب = 1828 – (4 + (8 × ك))

حيث k هو عدد صحيح. نقوم بحل المعادلة للعثور على القيمة المطلوبة. في هذه الحالة، نستخدم القانون الخاص بالقسمة والباقي:

$4 = (1828 – \text{العدد المُطلوب}) \mod 8$

لتبسيط الحسابات، نستخدم القاعدة التي تقول إذا كان $a \equiv b \mod m$، فإن $(a+c) \equiv (b+c) \mod m$.

نبدأ بحساب الفارق الذي يجب خصمه عند القسمة على 8:

$4 = (1828 – (\text{العدد المُطلوب} + 4)) \mod 8$

نبسط المعادلة:

$4 = (1828 – \text{العدد المُطلوب}) \mod 8$

نقوم بحساب الباقي:

$4 = (1828 \mod 8) – (\text{العدد المُطلوب} \mod 8)$

$4 = 4 – (\text{العدد المُطلوب} \mod 8)$

نضيف $\text{العدد المُطلوب} \mod 8$ إلى الطرفين:

$8 = \text{العدد المُطلوب} \mod 8$

الآن نعلم أن $\text{العدد المُطلوب} \mod 8$ يكون 0، لأن أقل عدد يمكن أن يكون باقي عند القسمة على 8 هو 0.

نقوم بنفس العملية للقسمة على 12 و16:

العدد المُطلوب = 1828 – (4 + (12 × ك))
العدد المُطلوب = 1828 – (4 + (16 × ك))

ونحسب القيم الممكنة للـ k في كل حالة.

الحل:

للقسمة على 8:
$4 = (1828 – (\text{العدد المُطلوب} + 8k)) \mod 8$
$4 = (1828 – \text{العدد المُطلوب}) \mod 8$

نستنتج أن $\text{العدد المُطلوب} \mod 8$ يكون 0.

للقسمة على 12:
$4 = (1828 – (\text{العدد المُطلوب} + 12k)) \mod 12$
$4 = (1828 – \text{العدد المُطلوب}) \mod 12$

نستنتج أن $\text{العدد المُطلوب} \mod 12$ يكون 0.

للقسمة على 16:
$4 = (1828 – (\text{العدد المُطلوب} + 16k)) \mod 16$
$4 = (1828 – \text{العدد المُطلوب}) \mod 16$

نستنتج أن $\text{العدد المُطلوب} \mod 16$ يكون 0.

إذاً، نعتبر القيم الممكنة لـ k للقسمة على 8 و12 و16، ونجد أن جميعها تتوافق عندما يكون n يساوي 114.

$k = 228 – n$
$k = 152 – n$
$k = 114 – n$

العدد المُطلوب = 1828 – (4 + (16 × 114))
العدد المُطلوب = 1828 – (4 + 1824)
العدد المُطلوب = 1828 – 1828
العدد المُطلوب = 0

القوانين المستخدمة:

1. قانون القسمة والباقي.
2. قانون الجمع والطرح.
3. استخدام العلاقات الرياضية لحل المعادلات.