حلا لمسألة الباقي الرياضي: قسمة الأعداد

العدد عند قسمته على قسيمة يترك باقيًا يبلغ 23. عند قسم ضعف العدد الأصلي على نفس القسيمة، يكون الباقي 11. ما هو قيمة القسيمة؟

حل المسألة:

فلنمثل العدد الأصلي بـ $x$ والقسيمة بـ $d$. الشرط الأول يعني:

$x \mod d = 23$

الشرط الثاني يعني:

$(2x) \mod d = 11$

الآن، لنقم بحساب القيمة الممكنة للعدد $x$ باستخدام الشرط الأول:

$x = 23 + kd$

حيث $k$ هو عدد صحيح (لأن الباقي لا يمكن أن يكون أكبر من القسيمة). الآن، لنقم بتعويض هذه القيمة في الشرط الثاني:

$2x = 2(23 + kd)$

ومن ثم:

$(2x) \mod d = 46 + 2kd$

ويجب أن يكون هذا الباقي مساويًا لـ 11:

$46 + 2kd \mod d = 11$

لنحل هذا المعادلة للعثور على قيمة $d$. يمكننا أيضًا استخدام الحقيقة أن القسمة على عدد يعني تكرار نفس الباقي:

$46 + 2kd \mod d = 46 \mod d + (2k \mod d) \times d$

وهو مساو لـ 11، لذلك:

$46 \mod d + (2k \mod d) \times d = 11$

لنحل هذه المعادلة ونجد القيمة الممكنة لـ $d$.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحديد العلاقة بين العدد الأصلي والقسيمة باستخدام القوانين الرياضية. لنمثل العدد الأصلي بـ $x$ والقسيمة بـ $d$.

الشرط الأول يعني أن عند قسمة $x$ على $d$، يتبقى باقي قيمته يكون 23:

$x \mod d = 23$

الشرط الثاني يعني أنه عندما نقوم بضرب العدد الأصلي في 2 ونقسمه على القسيمة، يتبقى باقي قيمته يكون 11:

$(2x) \mod d = 11$

لحساب الباقي عند القسمة، يمكننا استخدام العلاقة التالية:

$a \mod b = a – \left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor \times b$

حيث $\left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor$ هو أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي $\frac{a}{b}$. الآن، لنقم بتطبيق هذه الفكرة على المعادلة الأولى:

$x \mod d = x – \left\lfloor \frac{x}{d} \right\rfloor \times d = 23$

ومن ثم:

$x = 23 + \left\lfloor \frac{x}{d} \right\rfloor \times d$

الآن، لنعوض هذه القيمة في المعادلة الثانية:

$(2x) \mod d = (46 + 2k \times d) \mod d = 11$

حيث $k$ هو عدد صحيح. نقوم بتقسيم كل الطرفين على 2:

$(23 + kd) \mod d = 5.5$

لكن الباقي يجب أن يكون عدد صحيح، لذا نضطر لتضمين 0.5 في قيمة $k$، وبالتالي يصبح $k$ عددًا فرديًا.

باختصار، القيم الممكنة للقسيمة هي الأعداد الفردية.