حلا لمسألة الأقراص المختلفة (مسألة رياضيات)

لدينا قفل حقيبة يتألف من X عدد من الأقراص، وكل قرص يحتوي على الأرقام من 0 إلى 9. هناك 720 إعدادًا مختلفًا إذا كانت جميع الأرقام على الأقراص الثلاثة يجب أن تكون مختلفة. ما هو قيمة المتغير المجهول X؟

لحساب عدد الإعدادات المختلفة، نستخدم مفهوم الاختيار والترتيب. عندما نريد ضمان أن الأرقام على الأقراص مختلفة، يمكننا اختيار الرقم الأول بأي من الأرقام العشرة (10)، ثم نختار الرقم الثاني من الأرقام الباقية (9)، وأخيراً نختار الرقم الثالث من الأرقام الباقية (8). لذا، عدد الإعدادات المختلفة هو:

$10 \times 9 \times 8 = 720$

وهذا يشير إلى أن المتغير المجهول X هو 3.

إذا كان لديك قفل حقيبة مع 3 أقراص، يمكنك تحديد 720 إعدادًا مختلفًا إذا كانت جميع الأرقام على الأقراص الثلاثة تحتل مواقع فريدة.

لحل هذه المسألة، نعتمد على قاعدة اختيار وترتيب العناصر. القوانين التي نستخدمها هي قاعدة الضرب وقاعدة الاختيار والترتيب.

قاعدة الضرب:
إذا كان لدينا m خيارًا للحدث الأول و n خيارًا للحدث الثاني، فإن إجمالي عدد الطرق لحدوث الحدثين معًا هو m * n.

قاعدة الاختيار والترتيب:
عندما نقول أن هناك n خيارًا لاختيار r عنصرًا، ونريد معرفة عدد الطرق لترتيب هذه العناصر، نستخدم الصيغة $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$ حيث n! تعني n factorial وتساوي الضرب من 1 إلى n.

في هذه المسألة:

1. نختار الرقم الأول من بين الأرقام 0 إلى 9، لذا لدينا 10 خيارات للاختيار (X = 10).
2. نختار الرقم الثاني من بين الأرقام المتبقية (نفترض أن الرقم الأول هو 5، على سبيل المثال، نبقى بخيارات 0 إلى 4 ومن 6 إلى 9)، لذا لدينا 9 خيارات (X = 9).
3. نختار الرقم الثالث من بين الأرقام المتبقية، لذا لدينا 8 خيارات (X = 8).

الآن، نستخدم قاعدة الضرب:
$X = 10 \times 9 \times 8 = 720$

وهذا يعبر عن عدد الطرق الممكنة لاختيار وترتيب الأرقام على الأقراص بحيث تكون جميعها مختلفة.