حلا لمسألة الأعداد: العدد n والتراكيب الحسابية

متوسط القيم السبعة الأولى لضربات العدد 5 هو $a$، ووسيط القيم الثلاثة الأولى لضربات العدد الصحيح $n$ هو $b$. إذا كانت قيمة التعبير $a^2 – b^2$ تساوي صفر، فما هو قيمة $n$؟

لحل هذه المسألة، دعونا نبدأ بحساب $a$ و $b$، ثم نستخدمهما لإيجاد قيمة $n$.

للعثور على $a$، نجمع السبعة الأولى من ضربات العدد 5 ونقسم الناتج على 7 (عددها) للحصول على المتوسط.

ثم نجد $b$ الذي هو وسيط القيم الثلاثة الأولى لضربات العدد $n$. لنفترض أن القيم تكون $x$، $nx$، $n^2x$، حيث $x$ هو عامل مشترك بين القيم.

الآن، نقوم بحساب $a^2 – b^2$ ونضعها تساوي صفر:

نقوم بعاملة الفارقة:

الآن، نقوم بحل المعادلة:

هنا، يمكننا أن نجد القيم الممكنة لـ $n$ عن طريق فحص العوامل الرباعية لـ 400. بعد البحث، نجد أن $n = 10$ يحقق الشرط.

إذاً، قيمة $n$ هي 10.

في هذه المسألة، لنقم بحلها بشكل مفصل باستخدام القوانين الرياضية المناسبة.

1. لنجد متوسط الأولى السبعة ضربات للعدد 5 ($a$):

   $$a = \frac{5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35}{7} = \frac{140}{7} = 20$$

2. الآن، لنجد وسيط الأولى الثلاثة ضربات للعدد $n$ ($b$):
   نفترض أن القيم تكون $x$، $nx$، $n^2x$. وسيطها يكون القيمة الوسطية، والتي هي $nx$.

3. نستخدم القانون العام لفرق مربعين ($a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$):

   $$a^2 – b^2 = (20)^2 – (nx)^2 = (20 + nx)(20 – nx) = 0$$

4. الآن، نعين قيمة $n$ عندما يكون إحدى العوامل تساوي صفر:

   $$20 + nx = 0 \quad \text{أو} \quad 20 – nx = 0$$

   من الحل الأول:

   $$nx = -20$$

   من الحل الثاني:

   $$nx = 20$$

   إذا كان $nx = -20$، فنعتبر $x$ يكون $-1$، وبالتالي $n = 20 \div (-1) = -20$، وهو غير مقبول لأن القيمة السالبة لعدد صحيح لا تفي بشرط الإعداد الأولي.

   لذلك، نستمر مع $nx = 20$ ونفترض $x = 1$، وبالتالي $n = 20 \div 1 = 20$ هو الحلا المقبول.

باستخدام القوانين الرياضية كالمتوسط الحسابي وفرق المربعين، نتمكن من حل المسألة وتحديد قيمة $n$ بكفاءة.