حلا لمتعدد درجة ثالثة بجذور معقدة (مسألة رياضيات)

المسألة:

لنفترض أن $p(x)$ هو متعدد ذو معاملات حقيقية بحيث $p(3-2i)=0$ و $p(0)=-52$.

الحل:

نعلم أن $p(x)$ يحتوي على معاملات حقيقية، ولكن نتائج $p(3-2i)=0$ و $p(0)=-52$ تشير إلى أن لدينا جذرًا معقدًا في المعادلة وجذرًا حقيقيًا. إذاً، نقوم بكتابة المتعدد $p(x)$ على النحو التالي:

$p(x) = (x – r_1)(x – r_2)(x – r_3)$

حيث $r_1 = 3 – 2i$ هو الجذر المعقد و $r_2$ و $r_3$ هما الجذران الحقيقيان.

للعثور على الجذرين الحقيقيين، نستخدم المعلومة الإضافية $p(0) = -52$. عندما نقوم بتعويض $x = 0$ في المتعدد، نحصل على:

$p(0) = (0 – r_1)(0 – r_2)(0 – r_3)$

وبما أنه لدينا جذر معقد $r_1$، يجب أن يكون العامل المقابل له $(0 – r_1)$ و$(0 – r_1^*)$ للحفاظ على الأمانة الحقيقية للمعادلة. لكن نعلم أنه إذا كان لدينا جذر معقد $a + bi$، فإن جذره المعقد هو $a – bi$.

لذا، نكتب المتعدد كالتالي:

$p(x) = (x – (3 – 2i))(x – (r_2))(x – (r_3))$

والآن نستخدم $p(0) = -52$:

$-52 = (0 – (3 – 2i))(0 – r_2)(0 – r_3)$

بحل المعادلة، نجد قيمة $r_2$ و $r_3$.

ثم، يمكننا أن نكتب المتعدد بالشكل النهائي:

$p(x) = (x – (3 – 2i))(x – r_2)(x – r_3)$

وهذا يكون الجواب المطلوب.

بالطبع، دعونا نستكمل حلاً أفضل ونشرح الخطوات بالتفصيل.

نعلم أن $p(x)$ هو متعدد كبير الدرجة ولدينا معلومات حول جذرين محددين: $p(3-2i) = 0$ و $p(0) = -52$. يمكننا استخدام هذه المعلومات لتحديد المتعدد.

لنبدأ بالكتابة العامة للمتعدد:

$p(x) = (x – r_1)(x – r_2)(x – r_3)$

حيث $r_1 = 3 – 2i$ و $r_2$ و $r_3$ هما الجذران الآخران. نريد تحديد $r_2$ و $r_3$ والتحقق من أن المتعدد يحتوي على معاملات حقيقية.

الآن، لنستخدم معلومة $p(0) = -52$:

$-52 = (0 – r_1)(0 – r_2)(0 – r_3)$

نقوم بتعويض $r_1 = 3 – 2i$:

$-52 = (0 – (3 – 2i))(0 – r_2)(0 – r_3)$

نقوم بحساب القيمة:

$-52 = (3 – 2i)r_2r_3$

ونعلم أن $r_2$ و $r_3$ هما جذران حقيقيان، لذا تكون القيم متقاربة، ولنحسن التعبير، نضرب في المعقد المرافق للجزء الخيالي:

$-52 = (3 – 2i)(3 + 2i)r_2r_3$

نستخدم هنا قاعدة الفرق بين مربعين:

$-52 = (9 + 4)(r_2r_3)$

$-52 = 13(r_2r_3)$

$r_2r_3 = -4$

الآن نحصل على قيمة $r_2r_3$، وهي حاصل الضرب بين الجذرين الحقيقيين.

نعود الآن إلى الشكل العام للمتعدد:

$p(x) = (x – r_1)(x – r_2)(x – r_3)$

ونستخدم المعلومات التي حصلنا عليها:

$p(x) = (x – (3 – 2i))(x – r_2)(x – r_3)$

ونعلم أن $r_2r_3 = -4$، لذا نستخدمها لتكملة المتعدد:

$p(x) = (x – (3 – 2i))(x – r_2)(x – r_3) = (x – (3 – 2i))(x^2 + 4x – 4)$

الآن نوسع الشكل:

$p(x) = (x – 3 + 2i)(x^2 + 4x – 4)$

وهذا هو المتعدد المطلوب. تم استخدام قاعدة الفرق بين مربعين في تعبير المعلومة $p(0) = -52$.