مسائل رياضيات

حلا للمعادلة: قاعدة $n > 20$ (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتعلق بمعادلة من الدرجة الثانية وتطلب حساب القيمة الموجبة للمتغير $n$ بناءً على الشرط المعطى ألا وهو أن المعادلة $4x^2 + nx + 25 = 0$ تمتلك حلاً وحيدًا ل $x$.

لحل المعادلة، يمكننا استخدام الصيغة العامة لحلا المعادلات من الدرجة الثانية: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$. حيث أن المعادلة العامة للمنحنى الرياضي هي $ax^2 + bx + c = 0$.

في حالتنا، المعادلة $4x^2 + nx + 25 = 0$ تتناسب مع الصيغة العامة عندما يكون $a = 4$ و $b = n$ و $c = 25$. لذا نحصل على:

x=n±n24(4)(25)2(4)x = \frac{-n \pm \sqrt{n^2 – 4(4)(25)}}{2(4)}

لكي تكون لدينا حلاً وحيدًا، يجب أن يكون التعبير تحت الجذر الذي في الصيغة أعلى من صفر، أي:

n24(4)(25)>0n^2 – 4(4)(25) > 0

الآن دعونا نقوم بحساب هذا التعبير:

n2400>0n^2 – 400 > 0

n2>400n^2 > 400

n>20n > 20

إذًا، القيمة الموجبة لـ $n$ هي 20.

المزيد من المعلومات

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً ونذكر القوانين المستخدمة في الحل.

المعادلة التي نحاول حلها هي $4x^2 + nx + 25 = 0$، ونريد أن نجد قيمة موجبة للمتغير $n$ بحيث يكون لدينا حلاً وحيدًا لهذه المعادلة.

أولاً وقبل البدء في حل المعادلة، نستخدم قاعدة مهمة في نظرية المعادلات من الدرجة الثانية وهي صيغة الحلول. لمعادلة من الدرجة الثانية $ax^2 + bx + c = 0$، يكون حلها كالتالي:

x=b±b24ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

حيث $a$، $b$، و $c$ هي معاملات المعادلة.

في حالتنا، لدينا $a = 4$ و $b = n$ و $c = 25$. لذا، نقوم بتعويض هذه القيم في صيغة الحل:

x=n±n24(4)(25)2(4)x = \frac{-n \pm \sqrt{n^2 – 4(4)(25)}}{2(4)}

الآن، لضمان وجود حل وحيد، يجب أن يكون التعبير تحت الجذر إيجابيًا. هذا يقودنا إلى شرط:

n24(4)(25)>0n^2 – 4(4)(25) > 0

الذي يمكن تبسيطه إلى:

n2400>0n^2 – 400 > 0

n2>400n^2 > 400

n>20n > 20

إذًا، نحن نعلم أنه إذا كانت $n > 20$، فإن المعادلة ستمتلك حلاً وحيدًا.

القوانين المستخدمة:

  1. صيغة الحلول للمعادلة من الدرجة الثانية: يتم استخدام هذه الصيغة لحساب الحلول لمعادلة من الدرجة الثانية بناءً على معاملاتها.
  2. شرط وجود حلا وحيدًا: يتم استخدام التعبير تحت الجذر لضمان أن هناك حلاً وحيدًا للمعادلة، ويكون ذلك عندما يكون التعبير تحت الجذر إيجابيًا.