المسألة الرياضية تتعلق بمعادلة من الدرجة الثانية وتطلب حساب القيمة الموجبة للمتغير $n$ بناءً على الشرط المعطى ألا وهو أن المعادلة $4x^2 + nx + 25 = 0$ تمتلك حلاً وحيدًا ل $x$.
لحل المعادلة، يمكننا استخدام الصيغة العامة لحلا المعادلات من الدرجة الثانية: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$. حيث أن المعادلة العامة للمنحنى الرياضي هي $ax^2 + bx + c = 0$.
في حالتنا، المعادلة $4x^2 + nx + 25 = 0$ تتناسب مع الصيغة العامة عندما يكون $a = 4$ و $b = n$ و $c = 25$. لذا نحصل على:
x=2(4)−n±n2−4(4)(25)
لكي تكون لدينا حلاً وحيدًا، يجب أن يكون التعبير تحت الجذر الذي في الصيغة أعلى من صفر، أي:
n2−4(4)(25)>0
الآن دعونا نقوم بحساب هذا التعبير:
n2−400>0
n2>400
n>20
إذًا، القيمة الموجبة لـ $n$ هي 20.
المزيد من المعلومات
لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً ونذكر القوانين المستخدمة في الحل.
المعادلة التي نحاول حلها هي $4x^2 + nx + 25 = 0$، ونريد أن نجد قيمة موجبة للمتغير $n$ بحيث يكون لدينا حلاً وحيدًا لهذه المعادلة.
أولاً وقبل البدء في حل المعادلة، نستخدم قاعدة مهمة في نظرية المعادلات من الدرجة الثانية وهي صيغة الحلول. لمعادلة من الدرجة الثانية $ax^2 + bx + c = 0$، يكون حلها كالتالي:
x=2a−b±b2−4ac
حيث $a$، $b$، و $c$ هي معاملات المعادلة.
في حالتنا، لدينا $a = 4$ و $b = n$ و $c = 25$. لذا، نقوم بتعويض هذه القيم في صيغة الحل:
x=2(4)−n±n2−4(4)(25)
الآن، لضمان وجود حل وحيد، يجب أن يكون التعبير تحت الجذر إيجابيًا. هذا يقودنا إلى شرط:
n2−4(4)(25)>0
الذي يمكن تبسيطه إلى:
n2−400>0
n2>400
n>20
إذًا، نحن نعلم أنه إذا كانت $n > 20$، فإن المعادلة ستمتلك حلاً وحيدًا.
القوانين المستخدمة:
- صيغة الحلول للمعادلة من الدرجة الثانية: يتم استخدام هذه الصيغة لحساب الحلول لمعادلة من الدرجة الثانية بناءً على معاملاتها.
- شرط وجود حلا وحيدًا: يتم استخدام التعبير تحت الجذر لضمان أن هناك حلاً وحيدًا للمعادلة، ويكون ذلك عندما يكون التعبير تحت الجذر إيجابيًا.