حلا للمعادلة الرياضية: التربيع والتبسيط (مسألة رياضيات)

المعادلة المعطاة: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$

نرغب في حساب قيمة التعبير: $x^4 + \frac{1}{x^4}$

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام تقنية التربيع. بمعنى آخر، يمكننا رفع المعادلة الأصلية إلى السلطة الرابعة للوصول إلى التعبير المطلوب.

إذاً، نرفع المعادلة الأصلية إلى السلطة الرابعة:

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 6^2$

الآن نقوم بحساب الجهة اليمنى:

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 36$

وباستخدام القاعدة $a^2 + 2ab + b^2$، نحصل على:

$x^4 + 2x^2 \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} = 36$

نبسط هذا التعبير:

$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 36$

نقوم بترتيب المعادلة:

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 34$

إذاً، قيمة $x^4 + \frac{1}{x^4}$ هي 34.

لحل المسألة، استخدمنا مفهوم التربيع واستفدنا من القوانين المتعلقة برفع مجموعتين إلى السلطة الثانية. إليك تفاصيل أكثر والقوانين المستخدمة في الحل:

المعادلة المعطاة: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$

1. استخدام القانون الأساسي للتربيع:
   $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

   في هذه المسألة، قمنا بتطبيق هذا القانون على المعادلة المعطاة. نضرب $x^2$ في نفسها، ونضرب $\frac{1}{x^2}$ في نفسها، ونضرب كل منهما في الآخر. ثم قمنا بجمع هذه النواتج وحصلنا على الترميز الجديد:

   $(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2x^2 \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4}$

2. تبسيط المعادلة:
   بعد ذلك، قمنا بتبسيط المعادلة باستبدال قيمة $x^2 + \frac{1}{x^2}$ المعطاة (والتي هي 6) في المعادلة:

   $(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 36 \implies x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 36$

3. ترتيب المعادلة:
   نقوم بترتيب المعادلة للحصول على التعبير المطلوب:

   $x^4 + \frac{1}{x^4} = 34$

باستخدام هذه القوانين، تم حل المسألة بطريقة منطقية ورياضية. استفدنا من خصائص التربيع والتبسيط للوصول إلى الإجابة النهائية.