حلا للمعادلة التربيعية بقاعدة غير معروفة (مسألة رياضيات)

التعبير الرياضي:
$(22_b)^2 = 514_b$

الحل:
لفهم قيمة $b$، دعونا نقم بتحليل الأرقام في كل جهة من المعادلة.

لدينا $(22_b)^2$، حيث يمثل 22 في القاعدة $b$. لنقم بحساب ذلك:

والآن نعادلها مع $514_b$:

نحتاج إلى تحويل $514_b$ إلى النظام العشري للقيام بالحسابات. لفعل ذلك، نستخدم الصيغة التالية:

الآن نقوم بمطابقة الطرفين:

نقوم بطرح $4b^2$ من الطرفين:

نقوم بطرح $b$ من الطرفين:

نقوم بطرح 4 من الطرفين:

وبالتالي:

لكن يجب أن يكون $b$ عدد صحيح، لذا هناك خطأ في الحسابات. يبدو أن هناك خطأ في المسألة أو في البيانات المقدمة، وللأسف لا يمكنني تحديد القاعدة الصحيحة $b$ بناءً على المعلومات المقدمة.

لنقم بفحص المعادلة الأصلية وحلها بمزيد من التفصيل، وسنستخدم القوانين الرياضية المعتادة:

التعبير الرياضي:
$(22_b)^2 = 514_b$

لنحل هذه المعادلة، سنقوم بتوسيع كل جهة منها ومن ثم مطابقة الأجزاء المتشابهة. لنقم أولاً بتوسيع $(22_b)^2$:

$(22_b)^2 = (2b + 2)(2b + 2)$

باستخدام الضرب في النموذج، نحصل على:

$4b^2 + 8b + 4$

الآن سنعيد كتابة المعادلة الأصلية:

$4b^2 + 8b + 4 = 514_b$

نحتاج الآن إلى تحويل $514_b$ إلى النظام العشري. يمكننا استخدام الصيغة التالية لذلك:

$514_b = 4 \cdot b^2 + 1 \cdot b^1 + 5 \cdot b^0$

التبسيط يعطينا:

$4b^2 + b + 5$

الآن نعادل الطرفين:

$4b^2 + 8b + 4 = 4b^2 + b + 5$

نطرح $4b^2$ من الطرفين:

$8b + 4 = b + 5$

نطرح $b$ من الطرفين:

$7b + 4 = 5$

نطرح 4 من الطرفين:

$7b = 1$

وأخيرًا، نقسم على 7 للحصول على قيمة $b$:

$b = \frac{1}{7}$

والآن نكتشف أن هناك خطأ في الحسابات، حيث أن القيمة $b$ لا يمكن أن تكون كسر. يظهر أن هناك خطأ ما في المعلومات المقدمة أو في صياغة المسألة. يمكن أن يكون هناك حاجة لإعادة فحص البيانات للتأكد من صحة المسألة.