لنعيد كتابة المعادلة بشكل مترجم:
\begin{array}{cl}
x + 3 & \text{إذا كان $x < 20$}, \\ 2x - X & \text{إذا كان $x \ge 20$}. \end{array} \right.\] المطلوب هو إيجاد $f^{-1}(7) + f^{-1}(46).$ الحلاقترح أن نبدأ بحساب $f^{-1}(7)$ و $f^{-1}(46).$ لنفعل ذلك، نقوم بتبديل الدور بين $x$ و $y$ في المعادلة الأصلية: \[y = x + 3 \quad \text{إذا كان } x < 20\] \[y = 2x - X \quad \text{إذا كان } x \ge 20\] لنحسب $f^{-1}(7):$ \[7 = x + 3\] \[x = 4\] والآن لنحسب $f^{-1}(46):$ \[46 = 2x - X\] \[2x = X + 46\] \[x = \frac{X}{2} + 23\] ونعلم أن $x \ge 20,$ لذا: \[\frac{X}{2} + 23 \ge 20\] \[\frac{X}{2} \ge -3\] \[X \ge -6\] الآن نعود إلى المطلوب، حيث نريد حساب $f^{-1}(7) + f^{-1}(46).$ \[f^{-1}(7) + f^{-1}(46) = 4 + \left(\frac{X}{2} + 23\right)\] إذاً، نعلم أن الناتج هو 28. وإذا كان الجواب هو 28، يمكننا استخدام هذه المعلومة لحساب قيمة المتغير المجهول $X.$ \[4 + \left(\frac{X}{2} + 23\right) = 28\] نقوم بطرح 4 من الطرفين: \[\frac{X}{2} + 23 = 24\] ثم نطرح 23: \[\frac{X}{2} = 1\] وأخيرًا، نضرب في 2: \[X = 2\] إذا كانت الإجابة المعلومة هي 28، فإن القيمة المجهولة $X$ هي 2.
x + 3 & \text{إذا كان $x < 20$}, \\ 2x - X & \text{إذا كان $x \ge 20$}. \end{array} \right.\] المطلوب هو إيجاد $f^{-1}(7) + f^{-1}(46).$ الحلاقترح أن نبدأ بحساب $f^{-1}(7)$ و $f^{-1}(46).$ لنفعل ذلك، نقوم بتبديل الدور بين $x$ و $y$ في المعادلة الأصلية: \[y = x + 3 \quad \text{إذا كان } x < 20\] \[y = 2x - X \quad \text{إذا كان } x \ge 20\] لنحسب $f^{-1}(7):$ \[7 = x + 3\] \[x = 4\] والآن لنحسب $f^{-1}(46):$ \[46 = 2x - X\] \[2x = X + 46\] \[x = \frac{X}{2} + 23\] ونعلم أن $x \ge 20,$ لذا: \[\frac{X}{2} + 23 \ge 20\] \[\frac{X}{2} \ge -3\] \[X \ge -6\] الآن نعود إلى المطلوب، حيث نريد حساب $f^{-1}(7) + f^{-1}(46).$ \[f^{-1}(7) + f^{-1}(46) = 4 + \left(\frac{X}{2} + 23\right)\] إذاً، نعلم أن الناتج هو 28. وإذا كان الجواب هو 28، يمكننا استخدام هذه المعلومة لحساب قيمة المتغير المجهول $X.$ \[4 + \left(\frac{X}{2} + 23\right) = 28\] نقوم بطرح 4 من الطرفين: \[\frac{X}{2} + 23 = 24\] ثم نطرح 23: \[\frac{X}{2} = 1\] وأخيرًا، نضرب في 2: \[X = 2\] إذا كانت الإجابة المعلومة هي 28، فإن القيمة المجهولة $X$ هي 2.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة والعثور على قيمة المتغير المجهول $X$، دعونا نبدأ بتحليل الوظيفة $f(x)$ والعثور على الدالة العكسية $f^{-1}(x)$.
الوظيفة $f(x)$ تُعرف بالنمط التالي:
\begin{array}{cl}
x + 3 & \text{إذا كان } x < 20, \\ 2x - X & \text{إذا كان } x \ge 20. \end{array} \right.\] لنحسب الدالة العكسية $f^{-1}(x)$، نقوم بتبديل الأماكن بين $x$ و $y$ في المعادلات: إذا كان $x < 20$: \[y = x + 3\] نحسب الدالة العكسية $f^{-1}(x)$ بتبديل $x$ بـ $y$: \[x = y + 3\] ثم نحل للحصول على $f^{-1}(x)$: \[y = x - 3\] وبالنسبة للحالة الثانية حيث $x \ge 20$: \[y = 2x - X\] نقوم بتبديل $x$ بـ $y$: \[x = 2y - X\] نقوم بحل المعادلة للحصول على $f^{-1}(x)$: \[y = \frac{x + X}{2}\] الآن، لحساب $f^{-1}(7)$، نستخدم الدالة العكسية للحالة الأولى: \[f^{-1}(7) = 7 - 3 = 4\] وبنفس الطريقة، لحساب $f^{-1}(46)$، نستخدم الدالة العكسية للحالة الثانية: \[f^{-1}(46) = \frac{46 + X}{2}\] الآن، نقوم بحساب $f^{-1}(7) + f^{-1}(46)$: \[4 + \frac{46 + X}{2}\] ونعلم أن الناتج يساوي 28، لذا: \[4 + \frac{46 + X}{2} = 28\] نقوم بحساب المعادلة ونجد: \[\frac{X}{2} + 23 = 24\] \[\frac{X}{2} = 1\] \[X = 2\] قوانين الجبر والتفكير الرياضي التي تم استخدامها في الحل: 1. **تبديل الأماكن بين $x$ و $y$**: للعثور على الدالة العكسية، حيث نقوم بتبديل الأماكن بين المتغيرين. 2. **حل المعادلات**: نقوم بحل المعادلات للعثور على القيم المفقودة. 3. **استخدام الدوال العكسية**: للعثور على قيم $x$ باستخدام الدوال العكسية للحصول على القيم المتناظرة. 4. **تطبيق القوانين الجبرية الأساسية**: مثل جمع وطرح الأعداد وضربها وقسمتها. هذه القوانين تمثل الأساس في حل المعادلات والتفكير الرياضي في هذا السياق.
x + 3 & \text{إذا كان } x < 20, \\ 2x - X & \text{إذا كان } x \ge 20. \end{array} \right.\] لنحسب الدالة العكسية $f^{-1}(x)$، نقوم بتبديل الأماكن بين $x$ و $y$ في المعادلات: إذا كان $x < 20$: \[y = x + 3\] نحسب الدالة العكسية $f^{-1}(x)$ بتبديل $x$ بـ $y$: \[x = y + 3\] ثم نحل للحصول على $f^{-1}(x)$: \[y = x - 3\] وبالنسبة للحالة الثانية حيث $x \ge 20$: \[y = 2x - X\] نقوم بتبديل $x$ بـ $y$: \[x = 2y - X\] نقوم بحل المعادلة للحصول على $f^{-1}(x)$: \[y = \frac{x + X}{2}\] الآن، لحساب $f^{-1}(7)$، نستخدم الدالة العكسية للحالة الأولى: \[f^{-1}(7) = 7 - 3 = 4\] وبنفس الطريقة، لحساب $f^{-1}(46)$، نستخدم الدالة العكسية للحالة الثانية: \[f^{-1}(46) = \frac{46 + X}{2}\] الآن، نقوم بحساب $f^{-1}(7) + f^{-1}(46)$: \[4 + \frac{46 + X}{2}\] ونعلم أن الناتج يساوي 28، لذا: \[4 + \frac{46 + X}{2} = 28\] نقوم بحساب المعادلة ونجد: \[\frac{X}{2} + 23 = 24\] \[\frac{X}{2} = 1\] \[X = 2\] قوانين الجبر والتفكير الرياضي التي تم استخدامها في الحل: 1. **تبديل الأماكن بين $x$ و $y$**: للعثور على الدالة العكسية، حيث نقوم بتبديل الأماكن بين المتغيرين. 2. **حل المعادلات**: نقوم بحل المعادلات للعثور على القيم المفقودة. 3. **استخدام الدوال العكسية**: للعثور على قيم $x$ باستخدام الدوال العكسية للحصول على القيم المتناظرة. 4. **تطبيق القوانين الجبرية الأساسية**: مثل جمع وطرح الأعداد وضربها وقسمتها. هذه القوانين تمثل الأساس في حل المعادلات والتفكير الرياضي في هذا السياق.