حلا للمعادلات الرياضية: فنون التبسيط (مسألة رياضيات)

المعادلة الرياضية هي:

$3^n = X \cdot 9^3 \cdot 81^2$

عندما تكون قيمة $n$ هي 15. الهدف هو حساب قيمة المتغير المجهول $X$.

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام خاصية التبسيط الجبري. يمكن كتابة الأعداد 9 و 81 بشكل مبسط كالتالي:

$9^3 = (3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$

$81^2 = (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$

الآن، يمكننا استخدام هذه القيم في المعادلة الأصلية:

$3^{15} = X \cdot 3^6 \cdot 3^8$

لدينا قاعدة الأسس المتماثلة ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$)، لذا يمكن جمع الأسس:

$3^{15} = X \cdot 3^{6+8} = X \cdot 3^{14}$

الآن، بما أن الأسس متساوية، يمكننا تعادل القواعد:

$X = 3^{15-14} = 3^1 = 3$

إذا كانت قيمة $n$ تساوي 15، فإن القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي 3.

بالطبع، دعونا نقوم بحل المسألة بمزيد من التفاصيل. لنستعرض المعادلة الأصلية:

$3^n = X \cdot 9^3 \cdot 81^2$

نعلم أن $9^3$ يمكن كتابتها بشكل مبسط باستخدام قاعدة الأسس ($a^{mn} = (a^m)^n$):

$9^3 = (3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$

وأيضاً يمكن تبسيط $81^2$ باستخدام نفس القاعدة:

$81^2 = (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$

الآن نستخدم هذه القيم في المعادلة الأصلية:

$3^n = X \cdot 3^6 \cdot 3^8$

في هذه النقطة، نستفيد من قاعدة الأسس ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$) لدمج الأسس:

$3^{n} = X \cdot 3^{6+8} = X \cdot 3^{14}$

الآن، لدينا المعادلة بشكل أبسط:

$X = 3^{15-14} = 3^1 = 3$

قوانين الجبر المستخدمة في هذا الحل:

1. قاعدة الأسس ($a^{mn} = (a^m)^n$): تم استخدامها لتبسيط قيم $9^3$ و $81^2$.
2. قاعدة الأسس ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$): تم استخدامها لدمج الأسس في المرحلة النهائية للوصول إلى المتغير المجهول $X$.

هذه القوانين الجبرية هي أدوات قوية تُستخدم لتبسيط وحل المعادلات الرياضية.