حلا للمسألة: نسبة السكر المثلى

ربع الحل الذي كانت نسبة السكر فيه 8% بالوزن تم استبداله بمحلول آخر مما أدى إلى الحصول على محلول يحتوي على 16% سكر بالوزن. ما نسبة السكر في المحلول الثاني؟

لنقم بتعريف كمية الحل الأول بالكمية $x$، لذا يكون الكمية التي تم استبدالها هي $\frac{x}{4}$. يُمثل السكر في الحل الأول 8% من الوزن، لذا يكون السكر المتواجد في الكمية $x$ هو $0.08x$. بعد الاستبدال، يصبح السكر في الحلول الأول والثاني مجتمعًا هو $0.08x – \frac{0.08x}{4} +$ الكمية الجديدة $y$ (نسبة السكر 16%).

لحساب $y$، نستخدم العلاقة:

$0.08x – \frac{0.08x}{4} + y = 0.16(x + \frac{x}{4})$

نبسط المعادلة:

$0.08x – \frac{0.02x}{4} + y = 0.16(\frac{5}{4}x)$

نبسط المعادلة أكثر:

$0.08x – 0.005x + y = 0.2x$

نجمع الأعضاء المتشابهة:

$0.075x + y = 0.2x$

نطرح $0.075x$ من الطرفين:

$y = 0.125x$

لذا، النسبة المئوية للسكر في المحلول الثاني هي 12.5%.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين الرياضية. للقضاء على أي إشكاليات قد تظهر، دعونا نتخذ التالي:

فرضًا أن كمية الحل الأول هي $x$، إذًا كمية الحل الثاني التي تم استبدالها تكون $\frac{x}{4}$ نظرًا لأن ربع الكمية الأصلية تم استبدالها.

المحلول الأول يحتوي على 8% سكر بالوزن، لذا السكر في الحل الأول يكون $0.08x$ (8% من $x$). بعد الاستبدال، يكون السكر في الحلول الأول والثاني مجتمعًا هو $0.08x – \frac{0.08x}{4} + y$ حيث $y$ هو كمية السكر في الحل الثاني.

المسألة تقول إن الحل النهائي يحتوي على 16% سكر بالوزن، لذا يكون السكر في الحل النهائي هو $0.16(x + \frac{x}{4})$.

لحساب قيمة $y$، نستخدم المعادلة:

$0.08x – \frac{0.08x}{4} + y = 0.16(x + \frac{x}{4})$

نقوم بحساب القيم:

1. نضرب 0.16 في الجمع في الجهة اليمنى:
   $0.08x – \frac{0.08x}{4} + y = 0.16 \times \frac{5}{4}x$

2. نبسط المعادلة:
   $0.08x – \frac{0.02x}{4} + y = 0.2x$

3. نجمع الأعضاء المتشابهة:
   $0.075x + y = 0.2x$

4. نطرح $0.075x$ من الطرفين:
   $y = 0.125x$

لذا، النسبة المئوية للسكر في المحلول الثاني هي 12.5%.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل قوانين النسب والتناسب وقوانين الجمع والطرح في المعادلات.