حلا للمسألة الرياضية بباسكال (مسألة رياضيات)

لنبدأ بإعادة صياغة المسألة:

نعتبر المثلث باسكال، ونركز على العناصر في الصفوف 2005، 2006، و2007. لنمثل هذه العناصر بالتسلسلات $(a_i),$ $(b_i),$ و$(c_i)$ على التوالي، حيث $i$ يبدأ من اليسار.

نرغب في حساب
$\sum_{i = 0}^{2006} \frac{b_i}{c_i} – \sum_{i = 0}^{2005} \frac{a_i}{b_i}.$

الآن، لنحسب القيمة الغير معلومة $X$. لنقم بالتفكير ببساطة في كيفية توليد أعضاء الصفوف.

بدايةً، نعلم أن العنصر الأوسط في أي صف يكون مشتركًا بين الصفين اللذين يحيطان به. في حالتنا، نركز على العنصر الوسطي في الصف الثاني (2006).

العنصر الوسطي في الصف الثاني هو 2، ويتكون من مجموع العناصر في الصف الأول الذي يحيط به. لذا:

$2 = 1 + X \implies X = 1.$

الآن، لنقم بحساب الفرق بين المجموعين. نقوم بتعويض القيم المعروفة:

$\sum_{i = 0}^{2006} \frac{b_i}{c_i} – \sum_{i = 0}^{2005} \frac{a_i}{b_i} = \sum_{i = 0}^{2006} \frac{2}{c_i} – \sum_{i = 0}^{2005} \frac{1}{a_i}.$

لكن الآن نحتاج إلى النظر في كيفية حساب $c_i$ و $a_i$. نعلم أن $c_i$ هو العنصر الوسطي في الصف 2007، و $a_i$ هو العنصر الوسطي في الصف 2005.

لحساب $c_i$، نعلم أنه يكون مجموع العناصر في الصف 2006 الذي يحيط به، وهو 2. إذاً، $c_i = 2$.

لحساب $a_i$، نعلم أنه يكون مجموع العناصر في الصف 2004 الذي يحيط به، وهو 1+1 = 2. إذاً، $a_i = 2$.

الآن يمكننا الحساب:

$\sum_{i = 0}^{2006} \frac{2}{c_i} – \sum_{i = 0}^{2005} \frac{1}{a_i} = \sum_{i = 0}^{2006} \frac{2}{2} – \sum_{i = 0}^{2005} \frac{1}{2} = 2007 – 1003 = 1004.$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 1، والقيمة المطلوبة هي 1004.

لنقم بتوضيح التفاصيل أكثر ونستخدم بعض القوانين الرياضية في الحل.

أولاً، لنتعرف على القوانين التي سنستخدمها:

1. ثنائية باسكال: في المثلث باسكال، يتم توليد أي عنصر في الصف الذي يليه عن طريق جمع العناصر المجاورة في الصف السابق.

2. العنصر الأوسطي: العنصر الأوسطي في صف باسكال يتمثل في مجموع العناصر المحيطة به في الصف السابق.

3. تعويض القيم: استخدام القيم المعروفة لحساب القيم غير المعروفة.

الآن دعونا نركز على القيم المعطاة:

نرغب في حساب التالي:

$\sum_{i = 0}^{2006} \frac{b_i}{c_i} – \sum_{i = 0}^{2005} \frac{a_i}{b_i}.$

ونعلم أن القيمة المجهولة $X$ تظهر في العنصر الأوسطي للصف 2006، وهي مجموع العناصر في الصف 2005 الذي يحيط به.

باستخدام قاعدة العنصر الأوسطي، نكتب:

$X = 1 + 1 = 2.$

الآن، لنستخدم هذه المعلومة لحساب المتغيرات الأخرى.

لحساب $c_i$ (العنصر الأوسطي في الصف 2007)، نستخدم نفس القاعدة:

$c_i = 2.$

وأيضا، لحساب $a_i$ (العنصر الأوسطي في الصف 2005)، نستخدم نفس القاعدة:

$a_i = 2.$

الآن نستخدم هذه القيم في الصيغة الأصلية:

$\sum_{i = 0}^{2006} \frac{2}{2} – \sum_{i = 0}^{2005} \frac{1}{2} = 1004.$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 2، والقيمة المطلوبة هي 1004.

تم استخدام القوانين المذكورة لحل المسألة، وتم توضيح كيف تم استخدام العنصر الأوسطي في المثلث باسكال لحساب القيم المعلومة واستخدامها في الصيغة النهائية.