حلا للعدد الصغير والقسمة

العدد الأصغر الذي عندما يُنقص منه 2، يكون قابلاً للقسمة على 12، 16، 18، 21، و28 هو العدد الذي يكون له الباقي نفسه عند القسمة على هضم الأعداد المعنية. لفهم ذلك بشكل أفضل، دعونا نقوم بحساب الأعداد التي تعطي نفس الباقي عند القسمة.

لنبدأ بالقسمة على 12، يمكننا أن نفترض أن العدد الذي نبحث عنه هو $x$، إذًا:

هنا، $\equiv$ يمثل العلامة التي تشير إلى “متساوي تمامًا مع”، و $\pmod{12}$ يعني القسمة على 12. إذاً:

الآن، دعونا نحسب الأعداد التي تأخذ نفس القيمة عند القسمة على 12:

$2, 14, 26, 38, \ldots$

نريد العدد الأصغر، لذا الإجابة هي 2.

الآن، نقوم بنفس العملية للقسمة على 16:

نحسب الأعداد:

$2, 18, 34, 50, \ldots$

الإجابة هي 2.

نكرر العملية للقسمة على 18:

نحسب الأعداد:

$2, 20, 38, 56, \ldots$

الإجابة هي 2.

ونستمر بهذا الشكل للقسمة على 21 و28.

$x \equiv 2 \pmod{21}$، الإجابة هي 2.

$x \equiv 2 \pmod{28}$، الإجابة هي 2.

إذاً، العدد الأصغر الذي نبحث عنه هو 2، والذي يُقسم على 12، 16، 18، 21، و28 عندما يُنقص منه 2.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم الباقي عند القسمة ونعتمد على بعض القوانين الرياضية. لنقم بحل المسألة بمزيد من التفصيل وذلك باستخدام القوانين التي تنطوي على المفاهيم المطلوبة.

لنقم بتمثيل العدد الذي نبحث عنه بحرف $x$، حيث يتم تقسيم العدد $x – 2$ على 12 ونحتاج للعثور على أصغر قيمة ممكنة للعدد $x$ التي تجعل هذا الشرط يتحقق.

1. التمثيل الرياضي للمسألة:

للتعبير عن شرط القسمة على 12 بشكل رياضي، نستخدم العبارة:

$x – 2 \equiv 0 \pmod{12}$

التعبير أعلاه يعني أن فارق العدد $x – 2$ يكون متساويًا تمامًا لصفر عند القسمة على 12.

2. استخدام القاعدة الرياضية للتعبير عن باقي القسمة:

للتعبير عن نفس الشرط باستخدام الرموز الرياضية، يمكننا كتابة:

$x \equiv 2 \pmod{12}$

هذا يعني أن باقي قسمة $x$ على 12 هو 2.

3. تحديد أصغر قيمة لـ $x$:

للعثور على أصغر قيمة لـ $x$، نبدأ بالقيام بعملية الجمع مع 12 حتى نجد القيمة التي تحقق الشرط. في هذه الحالة، نجد أن:

$x = 2, 14, 26, 38, \ldots$

ونرغب في العدد الأصغر، والذي هو 2.

4. تكرار نفس العملية للقسمة على الأعداد الأخرى:

نقوم بتكرار نفس العملية للتحقق من أن العدد الذي اخترناه يقسم على 16، 18، 21، و28 عندما يُنقص منه 2.

$x \equiv 2 \pmod{16}$
$x \equiv 2 \pmod{18}$
$x \equiv 2 \pmod{21}$
$x \equiv 2 \pmod{28}$

وفي كل مرة، نجد أن $x$ هو 2.

5. القوانين المستخدمة:

• قاعدة باقي القسمة (Modulus Rule):
  إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$، وكانت $c \equiv d \pmod{m}$، فإن $a + c \equiv b + d \pmod{m}$.

• قاعدة تمثيل باقي القسمة (Representation Rule):
  إذا كان $a \equiv b \pmod{m}$، فإن باقي قسمة $a – c$ على $m$ هو نفس باقي قسمة $b – c$ على $m$.

تلك القوانين تساعدنا في فهم وحل المسألة بشكل دقيق ومدروس.