حلا لتناقض في مسألة الأعداد (مسألة رياضيات)

إذا كانت الأعداد الحقيقية $a$ و $b$ تحققان المعادلتين $a+b=7$ و $a^3+b^3=91$، يُطلب منا حساب قيمة المنتج $ab$. لنقم بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

لدينا رقمين حقيقيين $a$ و $b$ يفترض أن يكون مجموعهما هو 7، أي $a+b=7$. كما أن مجموع أقسام مكعبيهما يساوي 91، أي $a^3+b^3=91$. نريد الآن حساب قيمة الضرب $ab$.

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام هوية الجمع لمكعبين، والتي تُعبِّر عنها بالصيغة التالية:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

نعلم أن $a+b=7$، لذا يمكننا استخدام هذا في المعادلة أعلاه:

$91 = 7(a^2-ab+b^2)$

الآن نقوم بحساب القيمة المطلوبة. نقوم بتبسيط المعادلة وحلها للعثور على قيمة $ab$:

$a^2 – ab + b^2 = \frac{91}{7}$

ونعلم أيضاً أن $a+b=7$، لذا يمكننا استخدام هذا في المعادلة الأصلية:

$a^2 – ab + b^2 + 2ab = \frac{91}{7} + 2ab$

الآن نستخدم القيمة المعروفة لـ $a+b$:

$7^2 + 2ab = \frac{91}{7} + 2ab$

نقوم بحساب القيم:

$49 + 2ab = \frac{91}{7} + 2ab$

ثم نقوم بتفريغ $2ab$ من الطرفين:

$49 = \frac{91}{7}$

نلاحظ أن هناك خطأ في الحساب، وهذا يشير إلى أن هناك تناقضًا في المعطيات الأولية للمسألة. ربما هناك خطأ في صياغة المسألة أو هناك حاجة إلى إعادة فحص الأرقام المقدمة.

لنقم بإعادة التفصيل في حل المسألة وذلك باستخدام القوانين والمفاهيم الرياضية المناسبة. نبدأ بإعادة صياغة المسألة:

لنفترض أن لدينا عددين حقيقيين $a$ و $b$ حيث $a+b=7$ و $a^3+b^3=91$. نريد حساب قيمة المنتج $ab$.

لحل المسألة، سنستخدم هوية الجمع لمكعبين، وهي:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

نستخدم الشروط المعطاة في المسألة ونعوض في الهوية:

$91 = 7(a^2-ab+b^2)$

نقوم بتبسيط المعادلة:

$a^2 – ab + b^2 = \frac{91}{7}$

الآن، نعلم أن $a+b=7$، لذا يمكننا استخدام هذا في المعادلة:

$a^2 – ab + b^2 + 2ab = \frac{91}{7} + 2ab$

نعوض قيمة $a+b$:

$7^2 + 2ab = \frac{91}{7} + 2ab$

نقوم بحساب القيم:

$49 + 2ab = \frac{91}{7} + 2ab$

نلاحظ أن هناك خطأ في الحساب. السبب في ذلك هو أننا قد قمنا بقسمة الطرفين على $7$ في مرحلة خاطئة. دعونا نعيد النظر في المعادلة:

$49 + 2ab = \frac{91}{7} + 2ab$

نقوم بضرب الجهتين في $7$ للتخلص من المقام في الكسر:

$7 \times (49 + 2ab) = 7 \times \frac{91}{7} + 7 \times 2ab$

نحسب القيم:

$7 \times 49 + 14ab = 91 + 14ab$

نقوم بإحضار $14ab$ إلى الجهة اليمنى:

$7 \times 49 = 91$

نجد أن العبارة أصبحت صحيحة. ولكن هناك تناقض في البيانات الأصلية للمسألة. إذاً، يبدو أن هناك خطأ في صياغة المسألة أو في الأرقام المقدمة، حيث لا يمكن الوفاء بالشروط المعطاة.

لحل هذا النوع من المسائل، تم استخدام قاعدة هوية الجمع لمكعبين، وتم استخدام الشروط المعطاة لإعادة صياغة المعادلة وحلها للعثور على القيمة المطلوبة.