حلا لتفكيك الجذور بفعالية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المعطاة هي:
$\sqrt{6+4\sqrt{2}} + \sqrt{6-4\sqrt{2}}$

لحل هذه المسألة، سنقوم بتفكيك المعادلة إلى أشكال أبسط. لنقم بذلك، نستخدم فكرة التوسيع:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$

لنستخدم هذه الفكرة في معادلتنا. لنكتب المعادلة كالتالي:

$\sqrt{6+4\sqrt{2}} + \sqrt{6-4\sqrt{2}}$

نفكك الجذر الأول باعتباره $a$ والجذر الثاني باعتباره $b$:

$= \sqrt{2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}} + \sqrt{2^2 – 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}$

وهنا يمكننا ملاحظة أننا استخدمنا فكرة التوسيع لتكوين مربعين كاملين. الآن نواجه المعادلة بالشكل التالي:

$= (\sqrt{2} + \sqrt{2\sqrt{2}}) + (\sqrt{2} – \sqrt{2\sqrt{2}})$

الآن نلاحظ أن الجذر الثاني قد أخذ علامة سالبة. هذا يعني أن المصطلحين في الجذرين سيتبادلا مع بعضهما البعض:

$= \sqrt{2} + \sqrt{2\sqrt{2}} + \sqrt{2} – \sqrt{2\sqrt{2}}$

الآن نقوم بإلغاء الأعضاء المتشابهة، ونجد أن الجواب هو:

$= 2\sqrt{2}$

إذاً، $\sqrt{6+4\sqrt{2}} + \sqrt{6-4\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.

سنقوم الآن بتفصيل حلا المسألة باستخدام قوانين الجذور والتوسيع. المسألة المعطاة هي:

$\sqrt{6+4\sqrt{2}} + \sqrt{6-4\sqrt{2}}$

لنحل هذه المعادلة، سنستخدم قاعدة توسيع الجذور. لنقم بتوسيع الجذر $\sqrt{6+4\sqrt{2}}$، نفتح المعادلة كالتالي:

$\sqrt{6+4\sqrt{2}} = \sqrt{2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}$

وهنا استخدمنا الفكرة الأساسية لتوسيع الجذور $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ حيث اعتبرنا $a=2$ و $b=\sqrt{2}$. الآن نقوم بتبسيط هذا الجذر:

$= \sqrt{2} + \sqrt{2\sqrt{2}}$

نكرر نفس الخطوات لتوسيع الجذر $\sqrt{6-4\sqrt{2}}$، حيث نعتبر $a=2$ و $b=-\sqrt{2}$:

$\sqrt{6-4\sqrt{2}} = \sqrt{2^2 – 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}$

ونحصل على:

$= \sqrt{2} – \sqrt{2\sqrt{2}}$

الآن، نضع النتائج المحسوبة في المعادلة الأصلية:

$\sqrt{6+4\sqrt{2}} + \sqrt{6-4\sqrt{2}} = (\sqrt{2} + \sqrt{2\sqrt{2}}) + (\sqrt{2} – \sqrt{2\sqrt{2}})$

نلحظ أن الجمع يلغي الجذور المربعة المشابهة، ونحصل على النتيجة النهائية:

$= 2\sqrt{2}$

لذلك، تم حل المسألة باستخدام قوانين الجذور وتوسيع الجذور.