حلاً لمعادلة لوغاريتمية معقدة بخمس خطوات (مسألة رياضيات)

المعطيات:
$x < 1$
و
$(\log_{10} x)^2 – \log_{10}(x^2) = 48$

نريد حساب قيمة التالي:
$(\log_{10}x)^3 – \log_{10}(x^3)$

حلاً:
لنبدأ بفحص المعادلة المعطاة:
$(\log_{10} x)^2 – \log_{10}(x^2) = 48$

يمكننا كتابة $\log_{10}(x^2)$ على أنها $2 \cdot \log_{10} x$، لأن قاعدة اللوغاريتم تسمح لنا بتحويل الأس الى مضاعف للوغاريتم. إذاً نحصل على المعادلة:
$(\log_{10} x)^2 – 2 \cdot \log_{10} x = 48$

لنقم بترتيب المعادلة وجمع الأعضاء المتشابهة:
$(\log_{10} x)^2 – 2 \cdot \log_{10} x – 48 = 0$

المعادلة الناتجة هي معادلة من الدرجة الثانية في $\log_{10} x$، ويمكن حلها باستخدام الصيغة التالية:
$\log_{10} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = -2$، و $c = -48$.

نستخدم هذه القيم في الصيغة:
$\log_{10} x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

الآن نقوم بحساب الجذر التربيعي:
$\sqrt{196} = 14$

إذاً نحصل على حلين:
$\log_{10} x_1 = \frac{2 + 14}{2} = 8$
$\log_{10} x_2 = \frac{2 – 14}{2} = -6$

نرفض الحلا $\log_{10} x_2$ لأن $x < 1$، لذا يتبقى لدينا $\log_{10} x_1 = 8$.

الآن، نستخدم هذا الحل لحساب القيمة المطلوبة:
$(\log_{10}x)^3 – \log_{10}(x^3) = (8)^3 – 3 \cdot \log_{10} x_1$
$= 512 – 3 \cdot 8$
$= 512 – 24$
$= 488$

إذاً، قيمة التعبير المطلوبة هي 488.

بالطبع، دعونا نستكمل حلاً مفصلاً للمسألة ونعود للتحليل بالتفصيل.

المعادلة المعطاة هي:
$(\log_{10} x)^2 – \log_{10}(x^2) = 48$

لنبدأ بتحليل الطرف الأيسر:
$(\log_{10} x)^2 – \log_{10}(x^2)$

نستخدم قاعدة قوانين اللوغاريتم:
$\log_{10}(a^b) = b \cdot \log_{10} a$

لتبسيط $\log_{10}(x^2)$ إلى $2 \cdot \log_{10} x$. إذاً المعادلة تصبح:
$(\log_{10} x)^2 – 2 \cdot \log_{10} x = 48$

لنقم بترتيب المعادلة بشكل طبيعي:
$(\log_{10} x)^2 – 2 \cdot \log_{10} x – 48 = 0$

هذه معادلة من الدرجة الثانية في $\log_{10} x$، لنقم بحلها باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلات ذات الدرجة الثانية:
$\log_{10} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = -2$، و $c = -48$. نستخدم هذه القيم في الصيغة:
$\log_{10} x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

نقوم بحساب الجذر التربيعي لـ$4 + 192$ الذي يكون 14. إذاً، نحصل على حلين:
$\log_{10} x_1 = \frac{2 + 14}{2} = 8$
$\log_{10} x_2 = \frac{2 – 14}{2} = -6$

نرفض الحلا $\log_{10} x_2$ لأن $x < 1$، لذا يبقى لدينا $\log_{10} x_1 = 8$.

الآن، نستخدم هذا الحل لحساب القيمة المطلوبة:
$(\log_{10}x)^3 – \log_{10}(x^3) = (8)^3 – 3 \cdot \log_{10} x_1$

هنا قد تم استخدام قاعدة طرح اللوغاريتم في حساب $\log_{10}(x^3)$:
$\log_{10}(a^b) = b \cdot \log_{10} a$
$\log_{10}(x^3) = 3 \cdot \log_{10} x$

وهكذا نحصل على:
$= 512 – 3 \cdot 8$
$= 512 – 24$
$= 488$

لذا، قمنا باستخدام قوانين اللوغاريتم في تبسيط المعادلة الأصلية وحساب القيمة المطلوبة.