حلاً لمعادلة لوغاريتمية ذات قاعدة 2 (مسألة رياضيات)

المعادلة المعطاة هي: $3 \log_2 s = \log_2 (3s)$

لحل هذه المعادلة، نستخدم قاعدة اللوغاريتم الطبيعية، حيث إذا كانت المعادلة تأخذ الشكل العام $a \log_b x = \log_b (x^a)$.

لذلك، نستخدم هذه القاعدة في المعادلة المعطاة:

$3 \log_2 s = \log_2 (3s)$

يمكننا تحويل اللوغاريتم الثلاثي إلى قوة:

$\log_2 (s^3) = \log_2 (3s)$

الآن، نقارن القوتين في كلا الجانبين:

$s^3 = 3s$

نقوم بترتيب المعادلة للعثور على قيمة $s$:

$s^3 – 3s = 0$

نقوم بعملية العامل المشترك:

$s(s^2 – 3) = 0$

إذاً، للحصول على القيم الممكنة لـ $s$، يمكن أن تكون إما $s = 0$ أو $s^2 – 3 = 0$.

إذاً، $s = 0$ أو $s = \sqrt{3}$، ولكن يجب التحقق من القيم الممكنة للمعادلة الأصلية.

عندما نقوم بتجريب $s = 0$:

$3 \log_2 0 = \log_2 0$

يكون لدينا اللوغاريتم من الناتج والقاعدة صفر، وهذا لا يحدث.

عندما نقوم بتجريب $s = \sqrt{3}$:

$3 \log_2 (\sqrt{3}) = \log_2 (3 \sqrt{3})$

يمكن تبسيط الجهة اليمنى:

$3 \cdot \frac{1}{2} \log_2 (3) = \frac{1}{2} \log_2 (27)$

الآن نستخدم قاعدة اللوغاريتم $\log_b (a^n) = n \log_b a$:

$\frac{3}{2} \log_2 (3) = \frac{1}{2} \cdot 3 \log_2 (3)$

تقلل الأشكال:

$3 \log_2 (3) = 3 \log_2 (3)$

يتحقق الجواب $s = \sqrt{3}$.

إذاً، قيمة $s$ الصحيحة في المعادلة الأصلية هي $s = \sqrt{3}$.

لنقم بحل المعادلة $3 \log_2 s = \log_2 (3s)$ بتفصيل أكثر، سنعتمد على عدة قوانين لوغاريتمية أساسية. الهدف هو تبسيط المعادلة والوصول إلى قيمة صحيحة لـ $s$.

المعادلة الأصلية:
$3 \log_2 s = \log_2 (3s)$

نبدأ بتطبيق قاعدة قوى اللوغاريتم على الجهة اليسرى:
$\log_2 (s^3) = \log_2 (3s)$

الآن، نقارن القوتين في كلا الجانبين:
$s^3 = 3s$

نقوم بترتيب المعادلة للوصول إلى صيغة قياسية:
$s^3 – 3s = 0$

الآن، نحاول عامل مشترك، ونجد أن لدينا $s$ كعامل مشترك:
$s(s^2 – 3) = 0$

هنا يأتي دور قانون الصفر، الذي يقول إذا كانت حاصل الضرب تساوي صفرًا، فإن أحد العوامل يجب أن يكون صفرًا. لذا:

1. $s = 0$

الآن، للتحقق من القيم الممكنة، نعيد إدراجها في المعادلة الأصلية:
$3 \log_2 0 = \log_2 0$
ونجد أن هذا لا يمكن أن يحدث.

2. $s^2 – 3 = 0$

نقوم بحل المعادلة التربيعية:
$s^2 = 3$
$s = \sqrt{3}$

الآن، للتحقق من هذه القيمة:
$3 \log_2 (\sqrt{3}) = \log_2 (3 \sqrt{3})$

نستخدم قوانين لوغاريتمية أخرى لتبسيطها، ونجد أن القيمة $s = \sqrt{3}$ تحقق المعادلة الأصلية.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة قوى اللوغاريتم: $\log_b (a^n) = n \log_b a$
2. قاعدة اللوغاريتم للضرب: $\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$
3. قانون الصفر: إذا كانت $ab = 0$، فإن أحد العوامل يجب أن يكون صفرًا.

بهذه الطريقة، نستنتج أن القيمة الصحيحة لـ $s$ هي $s = \sqrt{3}$.