حلاً لمعادلة رياضية معقدة باستخدام الكسور (مسألة رياضيات)

لحل المعادلة النسبية التي طُرحت، نحتاج إلى اتباع خطوات حسابية دقيقة. دعنا نقوم بذلك خطوة بخطوة.

المعادلة:
$\frac{1}{x – 1} – \frac{4}{x – 2} + \frac{4}{x – X – \frac{1}{x – 4}} < \frac{1}{30}.$

أولاً، لنبسط الكسر الذي يحتوي على المتغير $X$:
$x – X – \frac{1}{x – 4}.$

الآن، لنقوم بجمع الكسور الثلاثة في المعادلة الرئيسية:
$\frac{1}{x – 1} – \frac{4}{x – 2} + \frac{4}{x – X – \frac{1}{x – 4}}.$

ثم، لنجمع الكسور، يجب أن نجد مشترك كبير للمقامات. في هذه الحالة، المشترك سيكون $(x – 1)(x – 2)(x – 4)$.

الآن، نضرب كل جزء في المعادلة بالمشترك لتنقيح الكسور:
$(x – 2)(x – 4) + (-4)(x – 1)(x – 4) + 4(x – 1)(x – 2)(x – 4)(x – 1) < \frac{1}{30}(x - 1)(x - 2)(x - 4).$

بعد الضرب والتبسيط، نحصل على معادلة جديدة. الآن، يمكننا ترتيب الأعضاء وتجميعها للحصول على معادلة منتظمة:
$P(x) < 0,$

حيث $P(x)$ هو مضاعف البولينوميال الناتج بعد التبسيط.

ثم، نقوم بتحليل النقاط الحرجة لهذا البولينوميال ونستخدمها لتقسيم الشكل النهائي إلى مناطق. في نهاية المطاف، نحصل على الإجابة النهائية للمعادلة بناءً على علامات $P(x)$ في كل منطقة.

الآن، بناءً على الإجابة المعطاة $(-∞, -2) \cup (-1, 1) \cup (2, 3) \cup (4, 6) \cup (7, ∞)$، يمكننا استخدام ذلك لتحديد قيمة المتغير $X$. القيمة $X$ تظهر في الكسر الثالث، لذا يجب أن يكون الشكل النهائي للمعادلة يتناسب مع الإجابة المعطاة.

بهذا الشكل، يمكننا حساب القيم الممكنة للمتغير $X$ التي تحقق الإجابة المطلوبة.

سأقوم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً، مع ذكر القوانين والخطوات المستخدمة في الحسابات.

المعادلة المعطاة هي:
$\frac{1}{x – 1} – \frac{4}{x – 2} + \frac{4}{x – X – \frac{1}{x – 4}} < \frac{1}{30}.$

لحساب قيمة $X$ التي تحقق الحل المعطى، يجب أولاً التعامل مع الكسور وتبسيط المعادلة. لدينا كسر يحتوي على متغير في المقام، لذا يجب العمل على توحيد المقامات وتبسيط الكسور.

1. تبسيط الكسور:
   نبدأ بتوحيد المقامات باستخدام المشترك المشترك $(x – 1)(x – 2)(x – 4)$. ثم نقوم بضرب كل جزء في المعادلة بهذا المشترك ونقوم بالتبسيط.

2. ترتيب الأعضاء:
   بعد التبسيط، نقوم بترتيب الأعضاء للحصول على معادلة بولينوميال منتظمة بشكل: $P(x) < 0$.

3. النقاط الحرجة:
   نحسب النقاط الحرجة حيث $P(x) = 0$. هذه النقاط تقسم العددية إلى مناطق.

4. تحليل العلامات:
   نقوم بتحليل علامات $P(x)$ في كل منطقة بين النقاط الحرجة. هل $P(x)$ إيجابية أم سالبة في كل منطقة؟

5. الإجابة النهائية:
   بناءً على تحليل العلامات، نحصل على الإجابة النهائية بشكل منطقي. يتم تحديد قيم $X$ بحيث تتوافق مع الإجابة المعطاة.

القوانين المستخدمة:

• ضرب الكسور:
  نحتاج إلى توحيد المقامات عند جمع الكسور. في هذه الحالة، المشترك هو $(x – 1)(x – 2)(x – 4)$.

• ترتيب الأعضاء:
  بعد ضرب الكسور وتبسيط المعادلة، نقوم بترتيب الأعضاء للحصول على معادلة منتظمة.

• النقاط الحرجة:
  نحسب النقاط حيث يكون المضاعف البولينوميال يساوي صفر. هذه النقاط تفصل العددية إلى مناطق.

• تحليل العلامات:
  نقوم بتحليل علامات المضاعف البولينوميال في كل منطقة بين النقاط الحرجة. هل هو إيجابي أم سالب؟

بتبع هذه الخطوات، يمكننا الوصول إلى الإجابة الصحيحة للمعادلة وتحديد القيمة المناسبة للمتغير $X$.