حلاً لمعادلة رياضية: قيمة f(4) و X (مسألة رياضيات)

الدالة $f(x)$ تحقق
$3f(x) – X f \left( \frac{1}{x} \right) = x$
لكل $x \neq 0.$ الهدف هو حساب قيمة $f(4).$ والإجابة المطلوبة هي 2. يتعين علينا أيضًا حساب القيمة غير المعروفة $X.$

للبداية، دعونا نستبدل $x$ بالقيمة 4 في المعادلة:
$3f(4) – X f \left( \frac{1}{4} \right) = 4$

الآن، لحساب قيمة $f\left(\frac{1}{4}\right),$ سنقوم بتبديل $x$ بالقيمة $\frac{1}{4}$ في المعادلة الأصلية:
$3f\left(\frac{1}{4}\right) – X f(4) = \frac{1}{4}$

الخطوة التالية هي حساب قيمة $f(4).$ نقوم بجمع المعادلتين معًا للتخلص من $f(4)$ وحساب القيمة المطلوبة:
$3f(4) – X f \left( \frac{1}{4} \right) + 3f\left(\frac{1}{4}\right) – X f(4) = 4 + \frac{1}{4}$

نجمع مصطلحي $3f(4)$ من الجهتين:
$6f(4) – X f \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{17}{4}$

الآن نقوم بحساب قيمة $f(4)$:
$6f(4) = X f \left( \frac{1}{4} \right) + \frac{17}{4}$

وباستخدام القيمة المعطاة $f(4) = 2,$ نحصل على:
$12 = 2X + \frac{17}{4}$

نطرح $\frac{17}{4}$ من الجهتين:
$12 – \frac{17}{4} = 2X$

لحساب قيمة $X,$ يتم تبسيط الجهة اليمنى:
$\frac{41}{4} = 2X$

وأخيراً، نقسم على 2 للحصول على قيمة $X$:
$X = \frac{41}{8}$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي $\frac{41}{8},$ والقيمة المطلوبة $f(4)$ هي 2.

لحل هذه المسألة الرياضية، استخدمنا عدة خطوات وقوانين لتبسيط المعادلات واستنتاج الحل النهائي. فيما يلي توضيح مفصل للخطوات والقوانين التي تم استخدامها:

1. بداية الحل:
   قمنا بتبديل $x$ بالقيمة 4 في المعادلة الأصلية:
   $3f(4) – X f \left( \frac{1}{4} \right) = 4$

   هذه الخطوة تأتي من تعويض قيمة $x$ بالقيمة المعروفة.

2. تحديد قيمة $f\left(\frac{1}{4}\right)$:
   قمنا بتبديل $x$ بالقيمة $\frac{1}{4}$ في المعادلة الأصلية:
   $3f\left(\frac{1}{4}\right) – X f(4) = \frac{1}{4}$

   هذه الخطوة تهدف إلى حساب قيمة $f\left(\frac{1}{4}\right)$.

3. جمع المعادلتين:
   قمنا بجمع المعادلتين معًا للتخلص من $f(4)$ وحساب القيمة المطلوبة:
   $6f(4) – X f \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{17}{4}$

   هذه الخطوة تأتي من تجميع المعادلتين للتخلص من المتغير المجهول $f(4)$.

4. تحديد قيمة $f(4)$:
   قمنا بحساب قيمة $f(4)$ من المعادلة السابقة:
   $12 = 2X + \frac{17}{4}$

   هذه الخطوة تأتي من تعويض قيمة $f(4)$ بالقيمة المعروفة 2.

5. تحديد قيمة $X$:
   قمنا بحساب قيمة المتغير المجهول $X$ عن طريق تبسيط المعادلة:
   $X = \frac{41}{8}$

   هذه الخطوة تأتي من تبسيط المعادلة التي تحتوي على $X$ للحصول على القيمة النهائية.

في هذا الحل، تم استخدام قوانين الجمع والطرح والضرب والتبديل، بالإضافة إلى قاعدة تحويل القيمة العكسية. الهدف هو تبسيط المعادلات وتحديد القيم المطلوبة. يتم تطبيق هذه القوانين بشكل متكامل للوصول إلى الحل النهائي.