حلاً لمعادلة رياضية باستخدام العوامل (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي:

“ما هو أصغر قيمة ممكنة لـ $x$ بحيث تكون المعادلة التالية صحيحة: $2x^2 + 24x – 60 = x(x + 13)$؟”

الحل:

نبدأ بترتيب المعادلة وتوحيدها في صيغة قياسية:

$2x^2 + 24x – 60 = x^2 + 13x$

$x^2 + 11x – 60 = 0$

الآن، نحاول حساب قيم $x$ باستخدام العوامل، أو إذا كان ذلك صعبًا، يمكننا استخدام الصيغة العامة لحل المعادلة الرباعية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $ax^2 + bx + c = 0$.

في حالتنا: $a = 1$, $b = 11$, $c = -60$.

نستخدم الصيغة العامة:

$x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 – 4(1)(-60)}}{2(1)}$

$x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 240}}{2}$

$x = \frac{-11 \pm \sqrt{361}}{2}$

$x = \frac{-11 \pm 19}{2}$

لذا، هناك حلين ممكنين:

$x_1 = \frac{-11 + 19}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-11 – 19}{2} = -15$

ولكن يجب أن نتأكد أن هناك قيمة تلبي الشرط الإضافي في المسألة، وهي أن القيمة $x$ يجب أن تكون الأصغر مما يجعل المعادلة الأصلية صحيحة. لذا، نقارن القيم:

$2(4)^2 + 24(4) – 60 \stackrel{?}{=} 4(4 + 13)$

$32 + 96 – 60 \stackrel{?}{=} 4(17)$

$68 \stackrel{?}{=} 68$

القيمة $x = 4$ تلبي الشرط. إذاً، أصغر قيمة ممكنة لـ $x$ هي 4.

بالطبع، سأقوم بتوضيح تفاصيل الحل بشكل أكثر تفصيلاً، مع الإشارة إلى القوانين والخطوات المستخدمة في العملية.

المسألة تعني حل المعادلة التالية:

$2x^2 + 24x – 60 = x(x + 13)$

للبداية، نقوم بتجميع جميع المصطلحات في الجهة اليمنى من المعادلة وتوحيدها في صيغة قياسية:

$2x^2 + 24x – 60 = x^2 + 13x$

$x^2 + 11x – 60 = 0$

الآن نحاول حساب قيم $x$ باستخدام العوامل، ونقوم بتفكيك المعادلة إلى عبارة متكاملة:

$(x – 4)(x + 15) = 0$

من هنا نحصل على حلين للمعادلة: $x = 4$ أو $x = -15$.

والآن، نتحقق من الشرط الإضافي الذي طلبته المسألة، وهو أن القيمة $x$ يجب أن تكون الأصغر مما يجعل المعادلة الأصلية صحيحة.

للتحقق، نستخدم القيمة $x = 4$ في المعادلة الأصلية:

$2(4)^2 + 24(4) – 60 \stackrel{?}{=} 4(4 + 13)$

$32 + 96 – 60 \stackrel{?}{=} 4(17)$

$68 \stackrel{?}{=} 68$

التحقق يظهر أن القيمة $x = 4$ هي الحلا المناسبًا، حيث أن القيمة اليمنى تكون مساوية للقيمة اليسرى.

قوانين وخطوات استخدمت في الحل:

1. تجميع المصطلحات: جمعت جميع المصطلحات في الجهة اليمنى للمعادلة وتوحيدها في صيغة قياسية.

2. تفكيك المعادلة: استخدمت قانون الإفراط في التفكيك للوصول إلى عبارة متكاملة.

3. حساب القيم: استخدمت العوامل لحساب القيم الممكنة لـ $x$.

4. التحقق من الحلول: تم استخدام قيمة $x = 4$ للتحقق من أنها تلبي الشرط الإضافي وتجعل المعادلة الأصلية صحيحة.