حلاً لمعادلة رياضية: القيمة المجهولة X (مسألة رياضيات)

لنقم بحساب القيمة المجهولة $X$ في المعادلة:

$\left( X – \frac{1}{\cos 23^\circ} \right) \left( 1 + \frac{1}{\sin 67^\circ} \right) \left( 1 – \frac{1}{\sin 23^\circ} \right) \left( 1 + \frac{1}{\cos 67^\circ} \right) = 1.$

لحساب هذه القيمة، سنقوم بتحليل المعادلة والتلاعب بالأشكال الجبرية.

أولاً، سنقوم بضرب الطرف الأيمن للمعادلة:

$X \left( 1 + \frac{1}{\sin 67^\circ} \right) \left( 1 – \frac{1}{\sin 23^\circ} \right) \left( 1 + \frac{1}{\cos 67^\circ} \right) = \frac{1}{\cos 23^\circ}.$

ثم، سنقوم بتوسيع الأجزاء في المقام:

$X \left( \frac{\sin 67^\circ}{\sin 67^\circ} \right) \left( \frac{\sin 23^\circ}{\sin 23^\circ} \right) \left( \frac{\cos 67^\circ}{\cos 67^\circ} \right) = \frac{1}{\cos 23^\circ}.$

الآن، يتم إلغاء الأشكال في المقام:

$X \frac{\sin 67^\circ \sin 23^\circ \cos 67^\circ}{\sin 67^\circ \sin 23^\circ \cos 67^\circ} = \frac{1}{\cos 23^\circ}.$

تقسيم الأشكال:

$X = \frac{1}{\cos 23^\circ}.$

وباستخدام القيمة المعروفة $\cos 23^\circ$:

$X = \frac{1}{\cos 23^\circ} = \frac{1}{\cos (90^\circ – 67^\circ)} = \frac{1}{\sin 67^\circ}.$

لذا، قيمة المتغير المجهول $X$ هي $\frac{1}{\sin 67^\circ}$.

لنقم بحل المعادلة بشكل مفصل باستخدام بعض القوانين الرياضية والزوايا. سنستخدم في هذا الحل القوانين التالية:

1. قانون جيب الجمع والطرح:
   $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B.$

2. قانون جيب الضرب والقسمة:
   $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}.$

3. تمييز جيب:
   $\cos^2 A – \sin^2 A = \cos(2A).$

4. التبديل بين الزوايا:
   $\cos(90^\circ – A) = \sin A.$

الآن دعونا نبدأ:

نعلم أن:
$\cos(90^\circ – A) = \sin A.$

لذا، يمكننا استخدام هذه المعرفة لتبسيط المعادلة:
$\cos 23^\circ = \sin (90^\circ – 23^\circ) = \sin 67^\circ.$

المعادلة الأصلية:
$\left( X – \frac{1}{\cos 23^\circ} \right) \left( 1 + \frac{1}{\sin 67^\circ} \right) \left( 1 – \frac{1}{\sin 23^\circ} \right) \left( 1 + \frac{1}{\cos 67^\circ} \right) = 1.$

يمكننا الآن استبدال $\sin 67^\circ$ بـ$\cos 23^\circ$ في المعادلة، وهذا يعطينا:
$\left( X – \frac{1}{\cos 23^\circ} \right) \left( 1 + \frac{1}{\cos 23^\circ} \right) \left( 1 – \frac{1}{\sin 23^\circ} \right) \left( 1 + \frac{1}{\cos 67^\circ} \right) = 1.$

الآن سنقوم بتوسيع الأجزاء وتبسيط المعادلة. نستخدم قانون جيب الجمع والطرح لتبسيط بعض الأجزاء:

$\left( X – \frac{1}{\cos 23^\circ} \right) \left( \frac{\cos 23^\circ + 1}{\cos 23^\circ} \right) \left( \frac{\sin 23^\circ – 1}{\sin 23^\circ} \right) \left( \frac{\cos 67^\circ + 1}{\cos 67^\circ} \right) = 1.$

نواصل التوسيع والتبسيط:

$X \frac{\cos 23^\circ + 1}{\cos 23^\circ} \frac{\sin 23^\circ – 1}{\sin 23^\circ} \frac{\cos 67^\circ + 1}{\cos 67^\circ} – \frac{1}{\cos 23^\circ} \frac{\cos 23^\circ + 1}{\cos 23^\circ} \frac{\sin 23^\circ – 1}{\sin 23^\circ} \frac{\cos 67^\circ + 1}{\cos 67^\circ} = 1.$

نقوم بإلغاء الأشكال المشتركة في العددين ونبسط الكسور:

$X (\cos 23^\circ + 1)(\sin 23^\circ – 1)(\cos 67^\circ + 1) – (\cos 23^\circ + 1)(\sin 23^\circ – 1)(\cos 67^\circ + 1) = \cos 23^\circ.$

نلاحظ أن $(\cos 23^\circ + 1)(\sin 23^\circ – 1)(\cos 67^\circ + 1)$ تظهر في كلا الطرفين، لذلك يمكننا إلغاءها:

$X – 1 = \cos 23^\circ.$

وبالتالي:

$X = 1 + \cos 23^\circ.$

وباستخدام هويات جيب، نستبدل $\cos 23^\circ$ بالتالي:

$X = 1 + \cos 23^\circ = 1 + \sin (90^\circ – 23^\circ) = 1 + \sin 67^\circ.$

لذا، القيمة النهائية للمتغير المجهول $X$ هي $1 + \sin 67^\circ$.