حلاً لمعادلة رياضية: القيمة المثلى لـ x

يتم ضرب العدد الموجب $x$ في 2، ويتم تقسيم هذا الناتج على 4. إذا كانت الجذر التربيعي للناتج من هاتين العمليتين يساوي $x$، فما هو قيمة $x$؟

المسألة:
ضرب عدد موجب $x$ في 2، ومن ثم قسم هذا الناتج على 4. إذا كان الجذر التربيعي للناتج يساوي $x$، فما هي قيمة $x$؟

الحل:
لنبدأ بتعريف المتغير $x$ كالعدد الموجب الذي نبحث عن قيمته. ثم، نقوم بضرب $x$ في 2، ونحسب الناتج عند ذلك.

$2x$

نقوم الآن بقسم هذا الناتج على 4:

$\frac{2x}{4}$

نبسط الكسر:

$\frac{x}{2}$

الآن، نأخذ الجذر التربيعي للناتج:

$\sqrt{\frac{x}{2}}$

ونعلم من السؤال أن هذا الجذر يساوي $x$، لذا:

$x = \sqrt{\frac{x}{2}}$

لحل هذه المعادلة، نقوم برفع الطرفين في القوة الثانية:

$x^2 = \frac{x}{2}$

نضرب في 2 للتخلص من المقام:

$2x^2 = x$

ثم، نقوم بترتيب المعادلة بحيث تكون في صيغة التربيع القياسي:

$2x^2 – x = 0$

الآن، يمكننا حل هذه المعادلة بطريقة عامة. نبدأ بعامل مشترك وهو $x$:

$x(2x – 1) = 0$

هذا يعني أن إما $x = 0$ أو $2x – 1 = 0$. إذاً:

$x = 0 \quad \text{أو} \quad 2x – 1 = 0$

في الحالة الثانية:

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

إذا كان $x = \frac{1}{2}$، فإن الشرط المطلوب يتحقق، لذا القيمة الوحيدة لـ $x$ هي $\frac{1}{2}$.

بالطبع، سنقوم الآن بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل، وسنشير إلى القوانين والخطوات المستخدمة في الحسابات.

المسألة:
ضرب عدد موجب $x$ في 2، ومن ثم قسم هذا الناتج على 4. إذا كان الجذر التربيعي للناتج يساوي $x$، فما هي قيمة $x$؟

الحل:

1. تعريف المتغير:
   دعونا نفترض أن $x$ هو العدد الموجب الذي نبحث عن قيمته.

2. العمليات الحسابية:

   • نضرب $x$ في 2 للحصول على $2x$.
   • نقسم $2x$ على 4 للحصول على $\frac{x}{2}$.

3. التعبير الرياضي:

   • نأخذ الجذر التربيعي للناتج $\sqrt{\frac{x}{2}}$ ونفترض أنه يساوي $x$.

4. حل المعادلة:

   • نكتب المعادلة $x = \sqrt{\frac{x}{2}}$.
   • نرفع الطرفين في القوة الثانية للتخلص من الجذر.
   • نحصل على المعادلة $x^2 = \frac{x}{2}$.

5. ترتيب المعادلة:

   • نضرب في 2 للتخلص من المقام ونحصل على $2x^2 = x$.
   • نقوم بترتيب المعادلة لتكون في صيغة التربيع القياسي: $2x^2 – x = 0$.

6. حل المعادلة الرباعية:

   • نستخدم قاعدة الضرب الصفري للعثور على الحلول.
   • نعامل العبارة $2x^2 – x$ كضرب: $x(2x – 1) = 0$.
   • نستنتج أن $x = 0$ أو $2x – 1 = 0$.

7. حساب القيم:

   • في الحالة $x = 0$، يكون الناتج $2 \times 0 = 0$، وهو لا يتفق مع الشرط المطلوب.
   • في الحالة $2x – 1 = 0$، نجد $x = \frac{1}{2}$، ونتحقق من أن هذه هي القيمة الصحيحة.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الضرب:

   • استخدمنا قانون الضرب لضرب $x$ في 2، وبالتالي حصلنا على $2x$.

2. قانون القسمة:

   • استخدمنا قانون القسمة لقسم $2x$ على 4، وحصلنا على $\frac{x}{2}$.

3. قانون التربيع:

   • استخدمنا قانون التربيع للتخلص من الجذر التربيعي في المعادلة.

4. قانون الضرب الصفري:

   • استخدمنا قاعدة الضرب الصفري لحل المعادلة الرباعية والعثور على القيم الصحيحة.

بهذا، نصل إلى استنتاجنا النهائي الذي يؤكد أن القيمة الوحيدة للمتغير $x$ هي $\frac{1}{2}$.