حلاً لمعادلة رباعية: مجموع القيم الممكنة (مسألة رياضيات)

إذا كان $(x+2)(x-3)=14$، فما هو مجموع القيم الممكنة لـ $x$؟

لحل هذه المسألة الرياضية، سنقوم بفك طرح الجزئين المتكونين من المعادلة وتحديد القيم الممكنة لـ $x$. المعادلة هي:

$(x+2)(x-3) = 14$

لحل هذه المعادلة، سنقوم بفتح القوسين باستخدام الضرب الجبري:

$x^2 – 3x + 2x – 6 = 14$

ثم نجمع ونبسط المصطلحات المتشابهة:

$x^2 – x – 6 = 14$

ثم نقوم بنقل المصطلح 14 إلى الجهة اليمنى من المعادلة:

$x^2 – x – 6 – 14 = 0$

ثم نجمع المصطلحين -6 و -14:

$x^2 – x – 20 = 0$

الآن، يمكننا حل المعادلة الرباعية باستخدام الطرق المناسبة. نستخدم هنا القاعدة الشهيرة في الجبر لحساب جذر المعادلة الرباعية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

في هذه المعادلة، يكون $a$ هو معامل $x^2$، و $b$ هو معامل $x$، و $c$ هو المصطلح الثابت. بناءً على المعادلة $x^2 – x – 20 = 0$، يكون لدينا:

$a = 1, \quad b = -1, \quad c = -20$

نعوض هذه القيم في القاعدة:

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4(1)(-20)}}{2(1)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1+80}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2}$

$x = \frac{1 \pm 9}{2}$

يؤدي ذلك إلى قيمتين لـ $x$:

$x_1 = \frac{1 + 9}{2} = 5$

$x_2 = \frac{1 – 9}{2} = -4$

إذاً، القيم الممكنة لـ $x$ هي 5 و -4. الآن، سنجيب على السؤال الأصلي حول مجموع القيم الممكنة:

$5 + (-4) = 1$

إذاً، مجموع القيم الممكنة لـ $x$ هو 1. في هذا الحل، استخدمنا قوانين الجبر المتعلقة بفك الضرب وحل المعادلات الرباعية.