حلاً لمعادلة رباعية بجذور معقدة (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد معادلة رباعية من نوع quadractic polynomial تكون من الدرجة الثانية، وتحتوي على جذر $-2 – i \sqrt{5}$. نتبع الطريقة العامة للعثور على هذه المعادلة.

لنكون معادلتنا:
$ax^2 + bx + c = 0$

ونعلم أن لدينا جذرًا هو $-2 – i \sqrt{5}$، والجذور للمعادلات الرباعية تأخذ صيغة $(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)$.

لدينا جذر واحد هو $-2 – i \sqrt{5}$، لذلك لنحصل على الجذر الثاني نقوم بتكوين العدد المعقد المتناقص للعدد المعقد الأول، أي $-2 + i \sqrt{5}$.

إذاً، الجذرين هما:
$r_1 = -2 – i \sqrt{5}$
$r_2 = -2 + i \sqrt{5}$

الآن، نستخدم هذه الجذور لبناء المعادلة الرباعية. نحن بحاجة إلى ضرب العوامل للحصول على المعادلة المطلوبة. للقيام بذلك، نكتب:
$(x – r_1)(x – r_2) = 0$

ونوسع هذا الإعراب لنحصل على المعادلة المطلوبة. سنكون بحاجة لتبسيط الناتج، ولكن قبل ذلك دعونا نبدأ بالتوسيع:

$(x – r_1)(x – r_2) = 0$
$(x – (-2 – i \sqrt{5}))(x – (-2 + i \sqrt{5})) = 0$
$(x + 2 + i \sqrt{5})(x + 2 – i \sqrt{5}) = 0$

الآن سنقوم بضرب العوامل ونحاول تبسيط المعادلة:

$x^2 + (2 – i \sqrt{5})x + (2 + i \sqrt{5})x + (4 + 5) = 0$
$x^2 + (2 – i \sqrt{5} + 2 + i \sqrt{5})x + 9 = 0$
$x^2 + 4x + 9 = 0$

إذاً، المعادلة الرباعية المطلوبة هي:
$x^2 + 4x + 9 = 0$

لنقم بحل المسألة بمزيد من التفصيل، ولنذكر القوانين المستخدمة في الحل.

المعادلة الرباعية التي نريد إيجادها هي من الشكل العام:
$ax^2 + bx + c = 0$

حيث $a$, $b$, و $c$ هي معاملات حقيقية. ونعلم أن لدينا جذرين معقدين متناقضين وهما $r_1 = -2 – i \sqrt{5}$ و $r_2 = -2 + i \sqrt{5}$.

قاعدة الجمع والطرح للأعداد المعقدة تنص على أن إذا كان لدينا عدد معقد وجدنا ناتج الجمع أو الطرح مع عدد معقد آخر، فإن الجزء الحقيقي يتم جمعه أو طرحه، والجزء التخيلي يظل كما هو.

لذا، نحسب الجذر المعقد الآخر $r_2$ بجمع جزئيه الحقيقي والتخيلي:
$r_2 = -2 + i \sqrt{5}$

نقوم بالجمع:
$r_1 + r_2 = (-2 – i \sqrt{5}) + (-2 + i \sqrt{5})$

نطبق قاعدة الجمع:
$r_1 + r_2 = -4$

الآن، نستخدم هذه القيمة لبناء المعادلة الرباعية. نعلم أن المعادلة تأخذ شكل:
$(x – r_1)(x – r_2) = 0$

نقوم بتوسيعها:
$(x – r_1)(x – r_2) = 0$
$(x – (-2 – i \sqrt{5}))(x – (-2 + i \sqrt{5})) = 0$
$(x + 2 + i \sqrt{5})(x + 2 – i \sqrt{5}) = 0$

نطبق قاعدة الضرب الجبرية لضرب العوامل:
$x^2 + (2 – i \sqrt{5})x + (2 + i \sqrt{5})x + (4 + 5) = 0$

نجمع ونجمع المتشابه:
$x^2 + (4)x + 9 = 0$

وبالتالي، المعادلة الرباعية المطلوبة هي:
$x^2 + 4x + 9 = 0$

يُلاحظ أننا استخدمنا قاعدة الجمع والطرح للأعداد المعقدة وقاعدة الضرب الجبرية في هذا الحل.