مسائل رياضيات

حلاً لمعادلة دوال مثلثية معقدة باستخدام الهويات (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 24/12/2023
0

المسألة الرياضية:

إذا كانت $8 \tan \theta = 3 \cos \theta$ و $0 < \theta < \pi$، فحدد قيمة $\sin \theta.$

مواضيع ذات صلة

الحل:

لحل هذه المعادلة، سنستخدم المعرفة المتاحة لنا في الدوال المثلثية والدوال المثلثية الأساسية. أولاً، دعونا نقوم بتحويل الدوال إلى صورة موحدة باستخدام الهوية $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$:

8⋅sin⁡θcos⁡θ=3cos⁡θ.8 \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 3 \cos \theta.

نقوم بضرب كلا الجانبين في $\cos \theta$ للتخلص من المقام في الجهة اليسرى:

8sin⁡θ=3cos⁡2θ.8 \sin \theta = 3 \cos^2 \theta.

ثم نستخدم هوية $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ لتعويض $\cos^2 \theta$ بـ $(1 – \sin^2 \theta)$:

8sin⁡θ=3(1−sin⁡2θ).8 \sin \theta = 3 (1 – \sin^2 \theta).

نوجد معادلة من الدرجة الثانية في $\sin \theta$:

3sin⁡2θ+8sin⁡θ−3=0.3\sin^2 \theta + 8\sin \theta – 3 = 0.

الآن، يمكننا حساب قيم $\sin \theta$ باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية:

sin⁡θ=−b±b2−4ac2a.\sin \theta = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}.

حيث $a = 3$ و $b = 8$ و $c = -3$. نستخدم هذه القيم في الصيغة:

sin⁡θ=−8±82−4(3)(−3)2(3).\sin \theta = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 – 4(3)(-3)}}{2(3)}.

sin⁡θ=−8±64+366.\sin \theta = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6}.

sin⁡θ=−8±1006.\sin \theta = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{6}.

sin⁡θ=−8±106.\sin \theta = \frac{-8 \pm 10}{6}.

هنا لدينا اثنين من الحلول المحتملة:

  1. sin⁡θ=−8+106=26=13.\sin \theta = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

  2. sin⁡θ=−8−106=−186=−3.\sin \theta = \frac{-8 – 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3.

ومناطق القيم المسموح بها لـ $\theta$ هي $0 < \theta < \pi$، لذلك نستبعد القيمة الثانية لأنها تخرج عن هذا النطاق. لذلك، قيمة $\sin \theta$ هي $\frac{1}{3}$.

المزيد من المعلومات

بالطبع، سنقوم بتوسيع الشرح وتوضيح القوانين والمراحل التي تم استخدامها لحل المسألة.

المسألة الرياضية:

إذا كانت $8 \tan \theta = 3 \cos \theta$ و $0 < \theta < \pi$، فحدد قيمة $\sin \theta.$

الحل:

  1. تحويل الدوال إلى صورة موحدة:
    نبدأ بتحويل المعادلة باستخدام هوية $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$:
    8⋅sin⁡θcos⁡θ=3cos⁡θ.8 \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 3 \cos \theta.

  2. تحويل الدوال والتبسيط:
    ضرب الجانبين في $\cos \theta$:
    8sin⁡θ=3cos⁡2θ.8 \sin \theta = 3 \cos^2 \theta.

  3. استخدام الهوية المثلثية:
    استخدمنا هوية $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ لتعويض $\cos^2 \theta$:
    8sin⁡θ=3(1−sin⁡2θ).8 \sin \theta = 3 (1 – \sin^2 \theta).

  4. تحويل المعادلة إلى معادلة من الدرجة الثانية:
    قمنا بتنظيف المعادلة للحصول على معادلة من الدرجة الثانية في $\sin \theta$:
    3sin⁡2θ+8sin⁡θ−3=0.3\sin^2 \theta + 8\sin \theta – 3 = 0.

  5. حل المعادلة:
    استخدمنا صيغة حل المعادلات من الدرجة الثانية:
    sin⁡θ=−b±b2−4ac2a.\sin \theta = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}.

  6. تطبيق القيم:
    استخدمنا قيم الcoefficients $a = 3$ و $b = 8$ و $c = -3$ في الصيغة.

  7. التبسيط:
    قمنا بحساب القيمة الموجبة والقيمة المستبعدة، واستبعدنا القيمة السلبية لأنها خارجة عن نطاق القيم المسموح به.

  8. التحقق من النطاق المسموح:
    تحققنا من أن القيمة المختارة تتناسب مع النطاق $0 < \theta < \pi$.

  9. الإجابة النهائية:
    نوجد أن قيمة $\sin \theta$ هي $\frac{1}{3}$.

القوانين المستخدمة:

  • هوية الدالة التمامية:
    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ.\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}.

  • هوية بايثاغورث:
    cos⁡2θ+sin⁡2θ=1.\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1.

  • صيغة حل المعادلات من الدرجة الثانية:
    sin⁡θ=−b±b2−4ac2a.\sin \theta = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}.

  • نطاق القيم المسموح به:
    0<θ<π.0 < \theta < \pi.

هذا يمثل توضيحًا مفصلًا للخطوات والقوانين التي تم استخدامها لحل المسألة الرياضية.

اخر تحديث 24/12/2023
0