حلاً لمعادلة تفاوت الأسس الرياضية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي:

$2^n \cdot 4^n = 64^{n-36}$

لحل هذه المعادلة، سنقوم بتفكيك الأعداد واستخدام القوانين الحسابية. يُلاحظ أن $4^n$ يمكن كتابته على أنه $2^{2n}$، لذا يمكننا تبسيط المعادلة كما يلي:

$2^n \cdot 2^{2n} = 64^{n-36}$

نستخدم الآن القاعدة التي تقول $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ لجمع الأسس:

$2^{n + 2n} = 64^{n-36}$

باستخدام أن $64 = 2^6$، نستطيع كتابة الجهة اليمنى بصورة أخرى:

$2^{3n} = (2^6)^{n-36}$

ونستخدم الآن قاعدة $a^{mn} = (a^m)^n$ لتبسيط المعادلة:

$2^{3n} = 2^{6n – 216}$

الآن، بما أن الأسس متساوية، يمكننا معادلة الأساسين:

$3n = 6n – 216$

نقوم بترتيب المعادلة:

$216 = 3n$

ونقسم على 3 للحصول على قيمة $n$:

$n = 72$

إذاً، الحل للمعادلة هو $n = 72$.

بالتأكيد، سأقدم تفاصيل أكثر حول حل المعادلة والقوانين المستخدمة.

المعادلة المعطاة هي:

$2^n \cdot 4^n = 64^{n-36}$

لحل هذه المعادلة، نبدأ بتبسيط الأعداد. نعلم أن $4$ يمكن كتابته كـ $2^2$، لذلك يمكننا تعويض $4^n$ بـ $2^{2n}$، وبذلك تصبح المعادلة:

$2^n \cdot 2^{2n} = 64^{n-36}$

ثم نستخدم القاعدة التي تقول $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ لجمع الأسس:

$2^{n + 2n} = 64^{n-36}$

وهنا نستفيد من أن $64 = 2^6$، لذلك يمكننا كتابة الجهة اليمنى بصورة مختصرة:

$2^{3n} = (2^6)^{n-36}$

ثم نستخدم قاعدة $a^{mn} = (a^m)^n$ لتبسيط المعادلة:

$2^{3n} = 2^{6n – 216}$

الآن، بما أن الأسس متساوية، نستطيع معادلة الأساسين:

$3n = 6n – 216$

نقوم بترتيب المعادلة:

$216 = 3n$

ونقسم على 3 للحصول على قيمة $n$:

$n = 72$

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. قاعدة ضرب الأسس: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
2. تبسيط قوى العدد 4: $4 = 2^2$
3. تبسيط الجذر العددي: $64 = 2^6$
4. قاعدة قوى العدد: $a^{mn} = (a^m)^n$
5. معادلة الأساسين: إذا كانت $a^m = a^n$، فإن $m = n$

باستخدام هذه القوانين، تم تحويل المعادلة الأصلية إلى معادلة أبسط يمكن حلاها للعثور على قيمة $n$ المطلوبة.