حلاً لمعادلة تربيعية: قوانين الجبر (مسألة رياضيات)

المعادلة التربيعية $x^2 – 4x – 14 = 3x + 16$ لها حلاً يتألف من قيمتين. يُطلب منا حساب مجموع هذين الحلايا. لنقم أولاً بإعادة صياغة المسألة بشكل رياضي.

نعتبر المعادلة التربيعية:
$x^2 – 4x – 14 = 3x + 16$

نقوم بجمع $4x$ من الجهتين لتجميع معامل $x$ في جهة واحدة:
$x^2 – 8x – 14 = 16$

ثم نقوم بطرح $16$ من الجهتين:
$x^2 – 8x – 30 = 0$

الآن، يمكننا حل المعادلة التربيعية باستخدام الطريقة المعتادة. يمكننا استخدام القاعدة الشهيرة لحساب الجذر التربيعي:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

حيث أن المعادلة العامة للمعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$. في حالتنا:
$a = 1, \quad b = -8, \quad c = -30$

نستخدم هذه القيم في الصيغة للحصول على الجذرين:
$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 – 4(1)(-30)}}{2(1)}$

نقوم بحساب القيمة تحت الجذر أولاً:
$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 120}}{2}$
$x = \frac{8 \pm \sqrt{184}}{2}$

الآن، نقوم بتبسيط الجذر:
$x = \frac{8 \pm 2\sqrt{46}}{2}$

نقوم بتبسيط الكسر:
$x = 4 \pm \sqrt{46}$

إذًا، الحلول للمعادلة التربيعية هي:
$x_1 = 4 + \sqrt{46}$
$x_2 = 4 – \sqrt{46}$

للحصول على مجموع الحلول، نجمع القيمتين:
$4 + \sqrt{46} + 4 – \sqrt{46}$

نجمع الأجزاء المتشابهة:
$8$

إذاً، مجموع الحلول للمعادلة التربيعية المعطاة هو $8$.

بالطبع، دعونا نقوم بحل المسألة بمزيد من التفصيل والتوضيح. نستخدم قوانين الجبر وخصائص المعادلات التربيعية في هذا السياق.

المعادلة التربيعية المعطاة هي:
$x^2 – 4x – 14 = 3x + 16$

نقوم بجمع $4x$ من الجهتين لجمع معامل $x$ في جهة واحدة:
$x^2 – 8x – 14 = 16$

ثم نطرح $16$ من الجهتين لتبسيط المعادلة:
$x^2 – 8x – 30 = 0$

الآن، نستخدم القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

حيث أن:
$a = 1, \quad b = -8, \quad c = -30$

نقوم بحساب قيمة التعبير تحت الجذر:
$b^2 – 4ac = (-8)^2 – 4(1)(-30) = 64 + 120 = 184$

الآن، نعيد استخدام القاعدة العامة:
$x = \frac{8 \pm \sqrt{184}}{2}$

نبسط الجذر:
$x = \frac{8 \pm 2\sqrt{46}}{2}$

ونبسط الكسر:
$x = 4 \pm \sqrt{46}$

لذا، حلا المعادلة هما:
$x_1 = 4 + \sqrt{46}$
$x_2 = 4 – \sqrt{46}$

القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل:

1. قانون جمع وطرح المعادلات: حيث قمنا بجمع وطرح المصطلحات لتبسيط المعادلة.
2. قانون الجذور التربيعية: استخدمناه لحساب القيمة تحت الجذر في القاعدة العامة.
3. قانون حل المعادلات التربيعية: وهو القاعدة الرئيسية التي استخدمناها للوصول إلى الحلول.

إن هذه القوانين تعكس التفاعل العميق بين مختلف فروع الرياضيات، حيث تجتمع الجبر وحساب التفاضل والتكامل في حل هذه المسألة المعينة.