حلاً لمعادلة النسب البسيطة: تفاصيل وقوانين (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المعطاة هي حل معادلة النسبة البسيطة التي تأخذ شكلًا كالتالي: $\frac{4x}{20}=\frac{5}{x}$. لحل هذه المعادلة، سنقوم بتحويلها إلى معادلة خطية بحيث نتمكن من إيجاد القيمة المجهولة $x$.

نبدأ بضرب كل جانب من المعادلة في المقام العامل للتخلص من المقام في الكسر. في هذه الحالة، المقام العامل هو $x$، لذا نقوم بضرب كل جانب في $x$، وذلك للتخلص من المقام في الكسر. بعد ذلك، نقوم بتبسيط المعادلة.

المعادلة بعد التبسيط تأخذ الشكل التالي: $4x^2 = 100$.

الآن، نقوم بتحويل المعادلة إلى الشكل القياسي للمعادلة التربيعية ($ax^2 + bx + c = 0$) حتى نتمكن من حساب القيم الممكنة للمتغير $x$. في هذه الحالة، $a = 4$ و $c = -100$ (نقلب علامة 100 لأن المعادلة أصبحت بشكل $-100$).

الشكل القياسي يصبح: $4x^2 – 100 = 0$.

لحساب قيم $x$، نستخدم الصيغة التالية لحل المعادلة التربيعية: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$.

في هذه الحالة، $b = 0$ (لأنه لا يوجد متغير من الدرجة الأولى)، ولذلك يصبح الحل بسيطًا:

$x = \frac{\pm \sqrt{100}}{2 \times 4}.$

يمكن تبسيط الجذر التربيعي للرقم 100 إلى 10. لذا، القيم الممكنة لـ $x$ تصبح:

$x = \frac{\pm 10}{8}.$

وهذه هي القيم الممكنة لـ $x$ في هذه المعادلة.

بالطبع، سأقدم تفاصيل أكثر لحل المسألة وسأستعرض القوانين والخطوات التي تم اتباعها خلال الحل.

المعادلة الأصلية هي:
$\frac{4x}{20}=\frac{5}{x}.$

لحل هذه المعادلة، نقوم بتحويل الكسور إلى صورة متساوية عن طريق ضرب كل طرف في المقام الآخر. نقوم بضرب كل جانب في $20x$ للتخلص من المقام في الكسر الأول، وبضرب كل جانب في $x$ للتخلص من المقام في الكسر الثاني. الخطوة تظهر كالتالي:

$4x \times x = 20 \times 5.$

نقوم بتبسيط الجهة اليسرى من المعادلة لتصبح:
$4x^2 = 100.$

الآن، نقوم بتحويل المعادلة إلى الشكل القياسي للمعادلة التربيعية ($ax^2 + bx + c = 0$). في هذه الحالة، $a = 4$ و $c = -100$ (نقلب علامة 100 لأن المعادلة أصبحت بشكل $-100$). الشكل القياسي يكون:
$4x^2 – 100 = 0.$

الآن، نستخدم صيغة حل المعادلة التربيعية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}.$

في هذه الحالة، $b = 0$ (لأنه لا يوجد متغير من الدرجة الأولى). بالتالي، يبسط الحل إلى:
$x = \frac{\pm \sqrt{100}}{2 \times 4}.$

تبسيط الجذر التربيعي للرقم 100 يؤدي إلى 10. لذا، القيم الممكنة لـ $x$ تصبح:
$x = \frac{\pm 10}{8}.$

القوانين المستخدمة هي:

1. قاعدة النسبة البسيطة:
   إذا كانت نسبة $a/b$ متساوية لنسبة $c/d$، فإن $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

2. ضرب الطرفين للتخلص من المقام:
   إذا قمنا بضرب كل طرف من معادلة في مقام الكسر الآخر، يمكننا التخلص من المقام وتبسيط المعادلة.

3. تحويل المعادلة إلى شكل قياسي:
   لحل المعادلة التربيعية، نحولها إلى الشكل القياسي $ax^2 + bx + c = 0$.

4. صيغة حل المعادلة التربيعية:
   للعثور على القيم الممكنة لـ $x$، نستخدم صيغة $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$، حيث $a$ و $c$ و $b$ هي معاملات المعادلة التربيعية.