حلاً لمعادلة المطلقات الرياضية (مسألة رياضيات)

نحل المعادلة التالية لإيجاد قيمة x:

$| x – 2 | + | x + 5 | + | x | = 17$

لحل هذه المعادلة، نستخدم أربعة حالات ممكنة بناءً على القيم الممكنة للتعابير داخل القوسين:

1. عندما $x – 2 \geq 0$ و $x + 5 \geq 0$ و $x \geq 0$، يصبح المعادلة:

   $(x – 2) + (x + 5) + x = 17$

   الآن نقوم بحساب القيمة:

   $3x + 3 = 17$

   $3x = 14$

   $x = \frac{14}{3}$

2. عندما $x – 2 \geq 0$ و $x + 5 \geq 0$ و $x < 0$، يصبح المعادلة:

   $(x – 2) + (x + 5) – x = 17$

   الآن نقوم بحساب القيمة:

   $x + 3 = 17$

   $x = 14$

3. عندما $x – 2 < 0$ و $x + 5 \geq 0$ و $x \geq 0$، يصبح المعادلة:

   $-(x – 2) + (x + 5) + x = 17$

   الآن نقوم بحساب القيمة:

   $3x + 7 = 17$

   $3x = 10$

   $x = \frac{10}{3}$

4. عندما $x – 2 < 0$ و $x + 5 \geq 0$ و $x < 0$، يصبح المعادلة:

   $-(x – 2) + (x + 5) – x = 17$

   الآن نقوم بحساب القيمة:

   $3 = 17$

   هذه الحالة لا تمتثل للشرط المطلوب، لذا لا يوجد حلاً في هذه الحالة.

إذاً، القيم الصحيحة لـ $x$ هي $x = \frac{14}{3}$ و $x = \frac{10}{3}$.

لحل مسألة المعادلة $| x – 2 | + | x + 5 | + | x | = 17$، نستخدم القوانين التالية:

1. قاعدة القيم المطلقة:
   $|a| = \begin{cases} a, & \text{إذا كان } a \geq 0 \\ -a, & \text{إذا كان } a < 0 \end{cases}$

   هذه القاعدة تعرف كيفية تحويل التعبير داخل القيم المطلقة بناءً على إشارة العدد.

2. ملكية الجمع للقيم المطلقة:
   $|a + b| = |a| + |b|$

   هذه الملكية تساعد في تبسيط تعابير المطلق.

3. تقسيم النطاق:
   نحل المعادلة لعدة حالات استنادًا إلى القيم الممكنة للتعابير داخل القيم المطلقة.

الآن، لنقم بحل المعادلة:

$| x – 2 | + | x + 5 | + | x | = 17$

نستخدم قاعدة القيم المطلقة لتحويل التعابير داخل القيم المطلقة:

$(x – 2) + (x + 5) + x = 17$

نجمع معاملات $x$ معًا ونحسب القيمة:

$3x + 3 = 17$

$3x = 14$

$x = \frac{14}{3}$

ثم نقوم بفحص الحالات الثلاث الأخرى بناءً على توقيع $x – 2$، $x + 5$، و $x$. نجد أن لدينا الحلول التالية:

2. $x = 14$
3. $x = \frac{10}{3}$

القاعدة الثالثة هي قاعدة تقسيم النطاق والتي تقسم المعادلة إلى حالات فردية استنادًا إلى قيم $x$. ومن خلال حسابات دقيقة لكل حالة، نحصل على الحلول النهائية.