حلاً لمعادلة المصفوفة ومتغير X (مسألة رياضيات)

المصفوفة $\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 2 & X \ 1 & -3 \end{pmatrix}$ معطاة. نريد أن نجد الثوابت $a$ و $b$ بحيث
$\mathbf{M}^{-1} = a \mathbf{M} + b \mathbf{I}.$

أولاً، نحتاج إلى حساب المصفوفة المعكوسة لـ $\mathbf{M}$ وذلك باستخدام قاعدة حساب المصفوفات المعكوسة. لنقم بحساب $\mathbf{M}^{-1}$:

$\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\text{det}(\mathbf{M})} \text{adj}(\mathbf{M}),$

حيث $\text{det}(\mathbf{M})$ هو Determinant المصفوفة و $\text{adj}(\mathbf{M})$ هو المصفوفة المرافقة لـ $\mathbf{M}$.

لنحسب det($\mathbf{M}$):
$\text{det}(\mathbf{M}) = (2 \cdot (-3)) – (X \cdot 1) = -6 – X.$

المصفوفة المرافقة لـ $\mathbf{M}$:
$\text{adj}(\mathbf{M}) = \begin{pmatrix} -3 & -X \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

الآن يمكننا حساب $\mathbf{M}^{-1}$:
$\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{-6 – X} \begin{pmatrix} -3 & -X \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

الآن، نقارن هذا بالتعبير $a \mathbf{M} + b \mathbf{I}$ ونحاول مطابقة المعاملات المقابلة. فلنكتب $a \mathbf{M} + b \mathbf{I}$:
$a \mathbf{M} + b \mathbf{I} = a \begin{pmatrix} 2 & X \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

قارن المعاملات المقابلة:
$a \begin{pmatrix} 2 & X \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-6 – X} \begin{pmatrix} -3 & -X \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

المقارنة تعني:
$a = \frac{-3}{-6 – X}, \quad b = \frac{-1}{-6 – X}.$

الآن، يمكننا حل المعادلتين للعثور على $a$ و $b$:
$a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{6}.$

إذاً، الثوابت المطلوبة هي $a = \frac{1}{2}$ و $b = \frac{1}{6}$.

للعثور على قيمة المتغير $X$، نستخدم المعلومات المتاحة في المعادلة الأصلية:
$\mathbf{M}^{-1} = a \mathbf{M} + b \mathbf{I}.$

باستخدام القيم المعروفة لـ $a$ و $b$:
$\frac{1}{-6 – X} \begin{pmatrix} -3 & -X \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & X \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

بعد الحسابات، يمكننا إيجاد قيمة $X$:
$-3 = X – \frac{1}{6}.$

إذاً:
$X = -\frac{17}{6}.$

لختصار، الثوابت المطلوبة هي $(a,b) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{6}\right)$، وقيمة المتغير $X$ هي $-\frac{17}{6}$.

بالتأكيد، سأقوم بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام القوانين الرياضية المعتادة.

المصفوفة $\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 2 & X \ 1 & -3 \end{pmatrix}$ تعطينا المعلومات الأولية. نريد العثور على الثوابت $a$ و $b$ بحيث
$\mathbf{M}^{-1} = a \mathbf{M} + b \mathbf{I}.$

قبل البدء في الحسابات، يجب علينا استخدام القوانين الرياضية المتعلقة بالمصفوفات وحسابات المصفوفات المعكوسة.

الخطوة 1: حساب المصفوفة المعكوسة

نحتاج أولاً إلى حساب det($\mathbf{M}$)، وهي determinant المصفوفة:
$\text{det}(\mathbf{M}) = (2 \cdot (-3)) – (X \cdot 1) = -6 – X.$

الآن، يمكننا حساب المصفوفة المرافقة adj($\mathbf{M}$):
$\text{adj}(\mathbf{M}) = \begin{pmatrix} -3 & -X \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

ثم نستخدم هذه المعلومات لحساب $\mathbf{M}^{-1}$:
$\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{-6 – X} \begin{pmatrix} -3 & -X \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

الخطوة 2: مقارنة مع $a \mathbf{M} + b \mathbf{I}$

الآن، نقوم بكتابة التعبير $a \mathbf{M} + b \mathbf{I}$:
$a \mathbf{M} + b \mathbf{I} = a \begin{pmatrix} 2 & X \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

ثم نقارن المعاملات المقابلة:
$a \begin{pmatrix} 2 & X \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-6 – X} \begin{pmatrix} -3 & -X \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

الخطوة 3: حل المعادلات

من خلال المقارنة، نجد العلاقات:
$a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{6}.$

الخطوة 4: حساب قيمة $X$

نستخدم المعلومات المعطاة في المعادلة الأصلية:
$\mathbf{M}^{-1} = a \mathbf{M} + b \mathbf{I}.$

نعوض القيم المعروفة لـ $a$ و $b$:
$\frac{1}{-6 – X} \begin{pmatrix} -3 & -X \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & X \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

الخطوة 5: حساب قيمة $X$

بعد الحسابات، نجد:
$-3 = X – \frac{1}{6}.$

إذاً، قيمة المتغير $X$ هي $-\frac{17}{6}$.

القوانين المستخدمة:

1. حساب المصفوفة المعكوسة: استخدمنا قاعدة حساب المصفوفة المعكوسة: $\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\text{det}(\mathbf{M})} \text{adj}(\mathbf{M}).$
2. قاعدة المصفوفة المرافقة: حسبنا المصفوفة المرافقة adj($\mathbf{M}$) لمصفوفة $\mathbf{M}$.
3. قاعدة حساب الدترمينانت: حسبنا det($\mathbf{M}$) باستخدام قاعدة الدترمينانت لمصفوفة $2 \times 2$.
4. مقارنة المصفوفات: استخدمنا المعاملات المقابلة لحساب الثوابت $a$ و $b$.

هذه القوانين تستند إلى مفاهيم الجبر الخطي وحساب المصفوفات.