مسائل رياضيات

حلاً لمعادلة التربيع الفريدة (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 24/12/2023
0

المعادلة $x^2 = x + 1$ لديها حلاًين متميزين هما $\Phi$ و $\varphi$، ويُطلب حساب قيمة $(\Phi – \varphi)^2$. للقيام بذلك، يمكننا البدء بحل المعادلة الأصلية للعثور على قيم $\Phi$ و $\varphi$.

نبدأ بحل المعادلة:
x2=x+1x^2 = x + 1

مواضيع ذات صلة

نقوم بترتيب المعادلة لتصبح معادلة منتجة للجذر التربيعي:
x2−x−1=0x^2 – x – 1 = 0

نستخدم القاعدة الشهيرة لحل المعادلات ذات الدرجة الثانية، والتي تعطينا الحلول:
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

حيث أن a=1a = 1 و b=−1b = -1 و c=−1c = -1. بتعويض هذه القيم، نحسب الجذور:
x=1±52x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

لذا، القيمتين هما:
Φ=1+52\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
φ=1−52\varphi = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}

الآن، سنحسب الفارق بين $\Phi$ و $\varphi$:
Φ−φ=1+52−1−52\Phi – \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} – \frac{1 – \sqrt{5}}{2}

لتسهيل الحساب، نقوم بتوسيع المعاملات:
Φ−φ=12+52−(12−52)\Phi – \varphi = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} – \left(\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{5}}{2}\right)

نلاحظ أن الأجزاء المتعلقة بـ 12\frac{1}{2} ستتبادل وتُلغى بعضها البعض. بالتالي، يبقى لدينا:
Φ−φ=52+52\Phi – \varphi = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}

نجمع الجذرين المتشابهين:
Φ−φ=5\Phi – \varphi = \sqrt{5}

والآن، لنجد قيمة $(\Phi – \varphi)^2$:
(Φ−φ)2=(5)2=5(\Phi – \varphi)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5

إذاً، قيمة $(\Phi – \varphi)^2$ هي 5.

المزيد من المعلومات

لحل معادلة التربيع $x^2 = x + 1$، يمكننا البدء بترتيبها لتكون معادلة تربيعية قياسية، وذلك باستخدام القانون العام لترتيب المعادلات:
x2−x−1=0x^2 – x – 1 = 0

تظهر المعادلة أن لدينا معادلة تربيعية في شكلها العام ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 حيث a=1a = 1، b=−1b = -1، و c=−1c = -1. يمكننا استخدام القانون العام لحساب الجذرين باستخدام الصيغة التالية:
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

نقوم بتعويض القيم ونحسب الجذور:
x=1±52x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

لذا، الجذرين هما:
Φ=1+52\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
φ=1−52\varphi = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}

الآن، سنقوم بحساب الفارق بين الحلايا:
Φ−φ=1+52−1−52\Phi – \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} – \frac{1 – \sqrt{5}}{2}

نقوم بتوسيع المعاملات لتسهيل الحساب:
Φ−φ=12+52−(12−52)\Phi – \varphi = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} – \left(\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{5}}{2}\right)

بعد إلغاء الأجزاء المتشابهة، نحصل على:
Φ−φ=52+52\Phi – \varphi = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}

التي تُبسط إلى:
Φ−φ=5\Phi – \varphi = \sqrt{5}

الآن، نحتاج إلى حساب قيمة $(\Phi – \varphi)^2$:
(Φ−φ)2=(5)2=5(\Phi – \varphi)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5

لذا، قيمة $(\Phi – \varphi)^2$ هي 5.

في هذا الحل، استخدمنا القانون العام لترتيب المعادلات التربيعية وصياغة الجذور باستخدام الصيغة العامة. تم استخدام الحسابات الجبرية لتبسيط المعادلات وإلغاء الأجزاء المتشابهة. كما تم توظيف قوانين جذور الأعداد لحساب قيم الجذور.

اخر تحديث 24/12/2023
0