حلاً لمعادلات التكرار الجذرية (مسألة رياضيات)

التعبير الذي قدمته يعبر عن عملية رياضية معينة تُرمز إليها برمز $\bowtie$. في هذه الحالة، يُعطى التعبير $a \bowtie b$ بواسطة الصيغة $a+\sqrt{b+\sqrt{b+\sqrt{b+…}}}$. الهدف هو حساب قيمة $y$ عندما يكون $4\bowtie y = 10$.

لحساب قيمة $y$ عندما يكون $4\bowtie y = 10$، يمكننا بدايةً كتابة المعادلة المتناسبة:

$4 + \sqrt{y + \sqrt{y + \sqrt{y + …}}} = 10$

الآن، لنقم بحل المعادلة. للقيام بذلك، يمكننا بسلاسة تجسيد الجزء الذي يحتوي على الجذر المتكرر:

$\sqrt{y + \sqrt{y + \sqrt{y + …}}}$

فلنمثل هذا الجزء بحرف مثلًا، فلنقل لنقول أنه يُمثل بالحرف $x$:

$x = \sqrt{y + \sqrt{y + \sqrt{y + …}}}$

باستخدام هذا التمثيل، يمكننا كتابة المعادلة الأصلية بشكل أبسط:

$4 + x = 10$

ثم نحل للعثور على قيمة $x$:

$x = 10 – 4 = 6$

الآن، نحن نعلم قيمة $x$، والتي تُمثل الجزء الداخلي للتعبير $4\bowtie y$، لذا يمكننا استخدام هذه القيمة لحساب قيمة $y$:

$4 + \sqrt{y + \sqrt{y + \sqrt{y + …}}} = 6$

$4 + 6 = 10$

بالتالي، قيمة $y$ هي 6.

سنقوم بحل المعادلة $4\bowtie y = 10$ بخطوات أكثر تفصيلاً، وسنستخدم بعض القوانين والتقنيات الرياضية المتعلقة بالجذور والتسلسلات:

للبداية، نستخدم تعريف العملية $\bowtie$ لتمثيل التكرار المتكامل في الجذور، لنفترض مؤقتًا أن:

$x = \sqrt{y + \sqrt{y + \sqrt{y + …}}}$

إذاً، يمكن كتابة المعادلة $4\bowtie y = 10$ على النحو التالي:

$4 + x = 10$

ثم يمكننا حل المعادلة للعثور على قيمة $x$:

$x = 10 – 4 = 6$

الآن، سنستخدم هذه القيمة للعودة إلى التعبير الأصلي للجذور:

$\sqrt{y + \sqrt{y + \sqrt{y + …}}} = 6$

نرى أن هذا التعبير يشبه التعبير الأصلي، لكن مع فارق وجود الجزء الأولي $y$. لذلك، يمكننا استخدام نفس الفكرة لحساب هذا التعبير:

$\sqrt{y + \sqrt{y + \sqrt{y + …}}} = 6$

نفترض أن هذا التعبير يمثل قيمة $z$:

$z = \sqrt{y + \sqrt{y + \sqrt{y + …}}}$

وباستخدام هذا التمثيل، يمكن كتابة المعادلة بشكل أبسط:

$z = 6$

ثم يمكننا ربط قيمة $z$ بالتعبير الأصلي:

$z = \sqrt{y + \sqrt{y + \sqrt{y + …}}}$

$6 = \sqrt{y + \sqrt{y + \sqrt{y + …}}}$

وهكذا، نحن نحصل على معادلة جديدة:

$6 = z$

التي تعني أن قيمة $z$ (وبالتالي الجذر المتكرر) هي 6. الآن، نحن نستخدم هذه القيمة لحساب قيمة $y$ في المعادلة الأصلية:

$4 + \sqrt{y + \sqrt{y + \sqrt{y + …}}} = 10$

$4 + 6 = 10$

وبالتالي، نجد أن قيمة $y$ هي 6.

قوانين وتقنيات استخدمناها في الحل:

1. تعريف العملية $\bowtie$: لتمثيل التكرار المتكامل في الجذور.
2. استخدام التعريفات: تعيين قيم مؤقتة لبعض الأجزاء لتبسيط المعادلة.
3. الحساب بالجذور المتكررة: استخدام القيم المؤقتة لحساب قيمة $z$ ومن ثم استخدامها لحساب القيمة النهائية لـ $y$.
4. الحلول المتكررة: استخدام فكرة الحلول المتكررة للتعامل مع التكرار في التعبيرات الجذرية.